(4)
设函数
f(x)?x2,0?x?1,而
?S(x)??bnsinn?x,???x???,其中
n?1b1n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,L,则S(?12)等于
(A)?12 (B)?14
(C)14 (D)12
(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设
z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数
f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求?2z?x?y. (2)设曲线积分?2cxydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算
?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy的值.
(3)计算三重积分???(x?z)dv,其中
?
是由曲面
?z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域.
四、(本题满分6分)
将函数f(x)?arctan1?x1?x展为x的幂级数.
五、(本题满分7分)
设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
六、（本题满分7分） 证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.
七、（本题满分6分）
问?为何值时,线性方程组
x1?x3?? 4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3
有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)1为A?1?的特征值.
(2)AA的伴随矩阵A*?为的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为R的球面?的球心在定球面
x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面
内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概
率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AUB的概率
P(AUB)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程
x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2
(1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程
是_____________.
z?t?1
(2)设a为非零常数,则?axlim(x??x?a)x=_____________.
(3)设函数f(x)? 10
x?1x?1,
则
f[f(x)]=_____________.
(4)积分?22?y20dx?xedy的值等于_____________. (5)
已
知
向
量
组
α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)是连续函数,且F(x)??e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(A)?e?xf(e?x)?f(x) (B)?e?xf(e?x)?f(x)
(C)e?xf(e?x)?f(x)
(D)e?xf(e?x)?f(x) (2)已知函数
f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是
(A)n![f(x)]n?1 (B)n[f(x)]n?1
(C)[f(x)]2n
(D)n![f(x)]2n
(3)设a为常数,则级数??[sin(na)12?n?1nn] (A)绝对收敛 (B)条件收敛
(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知
f(x)在x?0的某个邻域内连续,且
f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x) (A)不可导 (B)可导,且f?(0)?0
(C)取得极大值 (D)取得极小值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、
k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
(A)k1?β21α1?k2(α1?α2)?β2
(B)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β22 (C)k1?β21α1?k2(β1?β2)?β2
(D)k1α1?k2(β1?ββ22)?β1?2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求?1ln(1?x)0(2?x)2dx.
(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏
导数,求?2z?x?y.
(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分)
求幂级数??(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.
n?0
五、(本题满分8分) 求曲面积分
I???yzdzdx?2dxdy
S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一
点?,使得f?(?)?0.
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
??1?100??2134?B??01?10???,C??0213???001?1?021?? ?0001??0???0002??且矩阵A满足关系式
A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转
置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
求一个正交变换化二次型
f?x2?4x2212?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力Fr作用(见图).Fr的大小等于点P与原点O之间的距
离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于?.求变力Fr2对
质点P所作的功.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.
把答案填在题中横线上)
(1)已知随机变量X的概率密度函数
f(x)?12e?x,???x??? 则X的概率分布函数F(x)=____________.
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概
率P(AB)=____________.
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