(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松
(Poisson)分布,即
2ke?2P{X?k}?,k?0,1,2,L,k!则随机变量
Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量
Z?2X?1的方差D(Z).
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设 x?1?t2y?cost,则d2ydx2=_____________.
(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数
z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.
(3)
已
知
两
条
直
线
的
方
程
是
lx?11:1?y?20?z?3?1;l:x?2y?1z22?1?1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.
1(4)已知当x?0时,(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.
?5200?(5)设4阶方阵?A??2100??阵
?001?2??,则A
的逆?0011??A?1=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线?x2y?1?e1?e?x2
(A)没有渐近线 (B)仅有
水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数f(x)满足关系式
f(x)??2?0f(t2)dt?ln2,则f(x)等于
(A)exln2 (B)e2xln2
(C)ex?ln2
(D)e2x?ln2
(3)已知级数????(?1)n?1an?2,n?1?a2n?1?5,则级数n?1?an等于 n?1(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的
三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于
D(A)2??cosxsinydxdy (B)2D??xydxdy
1D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy (D)0
D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有
(A)ACB?E (B)CBA?E
(C)BAC?E (D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求?lim(cos
x?0?x)2. (2)设nr是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外
侧的法向量,求函数u?6x2?8y2z在点P处沿方向nr的方
向导数.
(3)???(x2?y2?z)dv,其中?是由曲线 y2?2z绕z轴旋转
?x?0一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体.
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
?(1?y3L)dx?(2x?y)dy的值最小.
五、(本题满分8分)
将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里
叶级数,并由此求级数??12的和.
n?1n
六、（本题满分7分） 设函数
f(x)在
[0,1]上连续
,(0,1)内可导,且
3?12f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.
3七、（本题满分8分） 已
知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及
β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.
八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式
大于1.
九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2
的正态分布,
且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________.
(2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一
点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,
则原点和该点的连线与x轴的夹角小于?4的概率为
____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
f(x,y)?
2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
求随机变量Z?X?2Y的分布函数.
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数
y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则
dydx=_____________.
(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点
M(1,2,?2)处的梯度
graduM=_____________.
(3)设
f(x)? ?1 ???x?01?x20?x??,则其以2?为周期的傅
里叶级数在点x??处收敛于_____________. (4)微分方程
y??ytanx?cosx的通解为
y=_____________.
??a1b1a1b2La1bn?(5)设A??a2b1a?2b1La2bn??LLLL??,其中
?anb1anb2Lab?nn?ai?0,bi?0,(i?1,2,L,n).则矩阵
A
的秩
r(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当x?1时,函数x2?11xx?1e?1的极限
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