(C)发散 (D)散敛性与?有关 (4)
设
有
f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与
xk是同阶无穷小,则k等于
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
a100b1(5)四阶行列式0a2b200a的值等于
3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (B)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4) (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,L),试证数列{xn}极限
存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向
S曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
(2)设变换 u?x?2yv?x?ay可把方程?2z?2z?26z?x2??x?y??y2?0简
化为?2z?u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分) 求级数??12n的和.
n?1(n?1)2
六、(本题满分7分) 设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1x?x0f(t)dt,求f(x)的一般表达式.
七、（本题满分8分） 设
f(x)在
[0,1]上具有二阶导数,且满足条件
f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意
一点.证明f?(c)?2a?b2.
八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.
九、（本题满分8分） 已
知
二
次
型
f(xx5x2221,2,x3)?1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为
2,
(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布
N(0,(12)2)的随机变量,则随机变量???的数学期望
E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?13,i?1,2,3.
又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率:
X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).
1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
把答案填在题中横线上)
3sinx?x2cos1(1)limx(1?cosx)ln(1?x)=_____________.
x?0
(2)设幂级数??anxn的收敛半径为3,则幂级数
n?1??na(x?1)n?1n的收敛区间为_____________.
n?1(3)对数螺线??e?在点?(?,?)?(e2,?2)处切线的直角坐
标方程为_____________.
?12?2?(4)设A???4t3?,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则?3?11????t=_____________.
(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
xy(1)二元函数 f(x,y)? x2?y2(x,y)?(0,0),在点(0,0)0 (x,y)?(0,0)处
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令
Sb1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),S1a3?2[f(a)?f(b)](b?a), 则
(A)S1?S2?S3 (B)S2?S1?S3
(C)S3?S1?S2
(D)S2?S3?S1 (3)设F(x)??x?2?sintxesintdt,则F(x)
(A)为正常数 (B)为负常数
(C)恒为零 (D)不为常数
?a1?(4)设α???b1????c1?1??a2,α2???b2?,α3???c?2,则三条直线 ??a3????b3?????c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中a2i?b2i?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关 (B)α1,α2,α3线性无关
(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为
4和2,则随机变量3X?2Y的方差是
(A)8 (B)16
(C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)计算I????(x2?y2)dv,其中2?为平面曲线 y?2z?x?0绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围成的区域. (2)计算曲线积分??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中cc是曲线 x2?y2?1x?y?z?2从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺
时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为
x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技
术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
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