高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案.doc

第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题

一、填空题

参考答案 ：

1. 点 M x, y, z 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M 1 x, y, z ; 关 于 xOy 平 面 的 对 称 点 为

M 2 x, y, z ；关于原点的对称点为 M 3 x, y, z .

2. 平行于 a ={1 ，1，1} 的单位向量为

1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3

1

平行，

为 .

1

5

3. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2 ,

2 、 1

，在坐标轴方向上的分量分别是

i 、

2 j 、 k , 1 , 2

M1M 2

方向余弦 cos

1 、 cos

2 2 、 cos 2

方向角

1200 、

1350

、

60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是

1 , 2

2 , 1 .

2 2

4. 已知两向量 a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k , 则 a 2b 2b 在 oz 轴上的投影为 48 .

2

12i

4 j 8k ，

3a 2b 12i

20 j 48k , 3a

x z t

t 1

5．过点 M (1,2, 1) 且与直线

y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4

0

二、选择题 1. 向量 a 与 b的数量积 a b =（ C ） .

A a rj b a ； B a rj a b ； C 2. 非零向量 a, b 满足 a b

A

a ∥ b ; B

a

rj a b ； D

b

rj a b ． 0 ，则有（ C

）．

b ( 为实数 ) ； C a b ； D a b 0 ． 3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0是（ A ）．

B a ⊥ b 的充要条件 ; A a ∥ b 的充要条件；

C a b 的充要条件； D a ∥ b 的必要但不充分的条件．

a

4. 设 i , , 是三个坐标轴正方向上的单位向量，下列等式中正确的是（

jk

k

C ） .

A. j i , B. i j k , C. i i

D ） .

k k , D.

k k

k k

5 设 a, b, c, d 为向量，则下列各量为向量的是（

A.

Pr jb a

B.

b c d

C.

a b c d

k D.

a b c

）．

6. 设 a

2i 3 j 4k ,b 5i

j k ，则向量 c C

– 1；

2a b 在 y 轴上的分向量是（ B

D -9

A 7 B 7 j

7. 以下结论正确的是（ D ）

2

2

2

A.

a b a b

B.

a b a b sin a, b

C. 若 a b D.

a c 或 a b a b

y2 4z2 9

a c ，且 a

0 ，则 b c

a b

2x2 x 1

2a b

8. 方程组

表示（B

）.

A 椭球面； B D

C 椭圆柱面；

x 1 平面上的椭圆； 空间曲线在 x 1平面上的投影 .

x y 0 1 B D

9. 设空间直线的对称式方程为

z 则该直线必（ A） .

A 过原点且垂直于 x 轴； C 过原点且垂直于 z 轴；

2

过原点且垂直于 y 轴； 过原点且平行于 x 轴 .

三、计算题

1、求旋转抛物面 z x 2

2

y 2 与平面 y z =1 的交线在 xy 平面上投影方程

解

从曲线方程

2

z y

x 2 y 2

中 消 去 z ， 得 曲 线 向 xy 平 面 得 投 影 柱 面 方 程

2

z

1

x

y

y 1。于是曲线在 xy 平面商得投影曲线的方程为

x2

z 0

y 1 2

5 4

2. 提示 点法式

3 提示： 过已知直线作垂直于已知平面的平面方程 { 用平面束 }

4.

求过点 (1,2,3) 且与直线 L ： x 1 y

1 z 垂直相交的直线方程 .

解: 过点作垂直已知直线的平面方程为

( x 1) ( y 2) ( z 3) 0,

x

由

1 t y t

代入平面得垂足 (5,4,-3)

z 1 t

所求直线方程为

x 1

4

y 2 z 3

2 6

5 求过直线

x y 2z 3 0 且切于球面 x2

2x y z 0

y 2 z2 1 的平面

解 过所给直线除平面

2x y z 0 外的其它所有平面方程为 2x y z y

0

x y 2z 3

即 1 2 x 1

2 z 3 0 *

球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径 于是

0

2

0 0 3

2

1

1 2 2

1

2 2

得 6

2

3 0

1 19

6

代入 * 得两个所求的平面 6 . 求锥面 z

x2 y2 与柱面 z2 2

2x 所围立体在三个坐标面上的投影

2

2

z 0, x 1 z2

y2 1;

解: x

0, 2

1

y

1,z 0;

y 0, x z 2x.