2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

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2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题 1．设a为

的小数部分，b为

的小数部分，则

的整数部分为 5 ．

考点： 估算无理数的大小． 分析： 根据无理数的取值范围表示a、b，再代入所求算式计算，估计结果的整数部分． 解答： 解：∵1＜＜2，1＜＜2， ∴a=﹣1，b=﹣1， ∴= = =（﹣+﹣1）（+） =+2+1， ∵≈1.732，2≈2828， ∴5＜+2+1＜6， +2+1的整数部分为5， 故答案为：5． 点评： 此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数． 2．下列两个方程组

与

有相同的解，则m+n= 3889 ．

考点： 二元一次方程组的解． 分析： 将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值． 解答： 解：联立方程组， 解得， 则m+n=500x﹣489y+640x+20y =1140x﹣469y =1140×3﹣469×（﹣1） =3889， 故答案为：3889． 点评： 本题考查了二元一次方程组的解．结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n．

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www.jyeoo.com 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则

= ．

考点： 角平分线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 过D作DE⊥AB于E，求出CD=DE，求出∠BDE=30°，求出BD=2BE，CD=DE=BE，根据勾股定理求出AE=AC，求出AB﹣AC=BE，代入求出即可． 解答： 解：过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=CD， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴BD=2BE， 由勾股定理得：DE=CD=BE， 222222由勾股定理得：AE=AD﹣DE，AC=AD﹣CD， ∴AE=AC， 即AB﹣AC=AB﹣AE=BE， ∴=． =． 故答案为： 点评： 本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，关键是能根据性质求出CD=BE和AB﹣AC=BE，题目比较好，是一道具有一定代表性的题目． 4．已知a是方程x﹣2002x+1=0的根，则

2

= 2001 ．

考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 由a为方程x2﹣2002x+1=0的根，所以将x=a代入方程得到关于a的等式a2﹣2002a=﹣1，a2+1=2002a，然22后将所求的式子的第二项变形为﹣4004a+a，前两项提取2变形后，将a﹣2002a=﹣1，a+1=2002a代入，2合并约分后再将a+1=2002a代入，整理后即可得到值． 解答： 解：∵a是方程x2﹣2002x+1=0的根， 2∴将x=a代入方程得：a﹣2002a+1=0， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 22∴a﹣2002a=﹣1，a+1=2002a， 则2a﹣4003a+1+=﹣2+a+1+2=2（a﹣2002）+a+1+=﹣1+a+=﹣1+2 =﹣1+2002=2001． 故答案为：2001 点评： 此题考查了一元二次方程的解，利用了转化及降次的数学思想，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有 6 个． 考点： 等腰直角三角形． 专题： 规律型． 分析： 分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3与C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5与C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1和C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数． 解答： 解：A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形， 如图所示： 则这样的点C有6个． 故答案为：6 点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的点C是解本题的关键． 6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 甲50人，乙100人 时可使得每月所付工资最少，最小值是 130000 ． 考点： 一次函数的应用． 分析： 设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150﹣x）人，根据甲、乙两种工种的工人的工资列出一次函数关系式，由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，求自变量x的取值范围，根据一次函数的性质求工资的最小值． 解答： 解：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150﹣x）人，每月所付的工资为y元， 则y=600x+1000（150﹣x）=﹣400x+150000， ∵（150﹣x）≥2x， ∴x≤50， ∵k=﹣400＜0， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ∴y随x的增大而减小 ∴当x=50时，y最小=﹣400×50+150000=130000元． ∴招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元． 故答案为：甲50人，乙100人，130000元． 点评： 本题考查了一次函数的运用．关键是根据所付工资列出函数关系式，根据题意求出自变量的取值范围． 7．已知 考点： 分式的化简求值． 分析： 首先求得当x=4﹣时，x2﹣8x+15=1，然后将原式化为x4﹣6x3﹣2x2+18x+23=x2（x2﹣8x+15）+2x（x22﹣8x+15）﹣（x﹣8x+15）﹣20x+38，即可将原式化简，然后代入x=4﹣，即可求得答案． 解答： 解：∵当x=4﹣时，x2﹣8x+15=（x﹣3）（x﹣5）=（1﹣）（﹣1﹣）=1， ，则分式= 10﹣17 ．

∴432 =x﹣6x﹣2x+18x+23 2222=x（x﹣8x+15）+2x（x﹣8x+15）﹣（x﹣8x+15）﹣20x+38 2=x+2x﹣1﹣20x+38 2=x﹣18x+37 2=（x﹣8x+15）﹣10x+22 =1﹣10x+22 =23﹣10x， ∴当x=4﹣时，原式=23﹣10（4﹣）=10﹣17． 故答案为：10﹣17． 点评： 此题考查了分式的化简求值问题．此题比较难，注意得到x2﹣8x+15=1与将原式化为x2（x2﹣8x+15）+2x22（x﹣8x+15）﹣（x﹣8x+15）﹣20x+38是解此题的关键． 8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE= ．

考点： 三角形的面积． 专题： 应用题． 分析： 根据“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”求出OD与OB的比，再根据S△BDE=4求出△BOE与△DOE的面积，然后设△ADE的面积为x，再次利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”根据△ADE与△CDE面积的比列式，△ABD与△BCD面积的比列式，然后得到关于x的方程，求解即可． 解答： 解：∵S△COD=3，S△OBC=5， ∴OD：OB=3：5， 又∵S△BDE=4， ?2010-2013 菁优网