第一章 习题解答
1、证明 A?(B?C)＝(A?B)?(A?C)
证明：设x?A?(B?C)，则x?A或x?(B?C)，若x?A，则x?A?B，且x?A?C，从而x?(A?B)?(A?C)。若x?B?C，则x?B且x?C，于是x?A?B且x?A?C，从而x?(A?B)?(A?C)，因此
A?(B?C) ? (A?B)?(A?C)……………(1)
设x?(A?B) ?(A?C)，若x?A，则x?A?(B?C)，若x?A，由x?A?B且x?A?C知x?B且x?C，所以x?B?C，所以x?A?(B?C)，因此
(A?B)?(A?C) ? A?(B?C)……………(2) 由(1)、(2)得，A?(B?C)＝(A?B)?(A?C) 。 2、证明
①A－B＝A－(A?B)＝(A?B)－B ②A?(B－C)＝(A?B)－(A?C) ③(A－B)－C＝A－(B?C) ④A－(B－C)＝(A－B)?(A?C) ⑤(A－B)?(C－D)＝(A?C)－(B?D)
⑥A－(A－B)＝A?B 84 证明：①A－(A?B)＝A?C(A?B)＝A?(CA?CB) ＝(A?CA)?(A?CB)＝??(A?CB)＝A－B (A?B)－B＝(A?B)?CB＝(A?CB)?(B?CB) ＝(A?CB)??＝A－B
②(A?B)－(A?C)＝(A?B)?C(A?C)
＝(A?B)?(CA?CC)＝(A?B?CA)?(A?B?CC)＝??[A?(B?CC)]＝A?(B－C)
③(A－B)－C＝(A?CB)?CC＝A?C(B?C) ＝A－(B?C)
④A－(B－C)＝A?C(B?CC)＝A?(CB?C) ＝(A?CB) ?(A?C)＝(A－B)?(A?C) ⑤(A－B)?(C－D)＝(A?CB)?(C?CD) ＝(A?C)?(CB?CD)＝(A?C)?C(B?D) ＝(A?C)－(B?D)
⑥A－(A－B)＝A?C(A?CB)＝A?(CA?B) ＝(A?CA) ?(A?B)＝??(A?B)＝A?B 3、证明： (A?B)－C＝(A－C)?(B－C)
A－(B?C)＝(A－B)?(A－C)
证明：(A?B)－C＝(A?B)?CC
85 ＝(A?CC)?(B?CC)＝(A－C)?(B－C) (A－B)?(A－C)＝(A?CB)?(A?CC)
＝(A?A)?(CB?CC)＝A?C(B?C)＝A－(B?C) 4、证明：Cs(?Ai)＝?CsAi
i?1i?1????证明：设x?Cs(?Ai)，则x??Ai，于是，?i、x?Ai，从而x?CAi，
i?1i?1???所以，x??CAi，所以，Cs(?Ai)??CsAi 。
i?1i?1i?1???设x??CsAi，则?i、即x?Ai，于是，即x?C(?Ai)，x?CAi，x??Ai，
i?1i?1i?1??所以?CAi? C(?Ai)，由以上两步得
i?1i?1??Cs(?Ai) = ?CsAi
i?1i?15、证明：
86 ①(?A?)－B＝?(A?－B)
??N??N②(?A?)－B＝?(A?－B)
??N??N证明：①(?A?)－B＝(?A?)?CB
??N??N＝?(A??CB)＝?(A?－B)
??N??N②(?A?)－B＝(?A?)?CB
??N??N=?(A??CB)＝?(A?－B)
??N??N6、设{An}是一列集合，作B1=A1，Bn=An-(?Ak)n>1。证明Bn是一列互
k?1nnn?1不相交的集，而且?Ak=?Bk，n=1，2，3，…。
k?1k?187 证明：设i≠j，不妨设i k?1j?1j?1=Ai?[Aj?(?CAk)] k?1=Ai?Aj?[CAi?(?CAk)]=(Ai?CAi)?Aj k?1k?ij?1j?1j?1?(?CAk)=??Aj?(?Ak)=? k?1k?ik?1k?i∴ Bi?Bj=?，{Bn}互不相交。 ∵ Bi?Ai，∴ ?Ak=?Bk 。 k?1k?1ni?1nn另一方面，设x??Ak，则存在最小的自然数i，使x?Ai，x??Ak，∴ k?1k?1i?1nx?Ai-?Ak=Bi??Bk， 88 k?1k?1∴ ?Ak??Bk ∴ ?Ak=?Bk 。 k?1k?1k?1k?1nnnn7、设A2n?1=(0，n)，A2n=(0，n)，n=1，2，…，求出集列{An}的上限集和下限集。 解：?n。∵ A2n?1=(0，n)，A2n=(0，n)， ∴ A2n?1?A2n 。 11m?n?Am=?(A2m?1?A2m)=?A2m=?(0，m)=(0，∞) m?nm?nm?n???????limAn=??Am=?(0，∞)=(0，∞) n??n?1m?nn?1???m?n?Am=?(A2m?1?A2m)=?A2m?1 m?nm?n?=?(0，m)=? m?n???1∴ limAn=??An=??=? 。 n??n?1m?nn?1??89 8、证明：limAn=??Am n??n?1m?n?证明：x?limAn??n，?m≥n，有x?Am??n，x??Am?? n??m?n????x???Am，∴ limAn=??Am 。 n?1m?nn??n?1m?n9、作出一个(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1对应，并写出这一对应的解析表达式。 解：y=tg?，x?(－1，1)，y(－∞，＋∞)。 2x10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。 证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心O的连线交球面于M，过M作球面的切平面，过P点和球面上任一点N引直线，该直线与平面交于N?，将N与N?对应，P与M对应，则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。 11、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。 90 证明：由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。 12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。 证明：以A表示这个集合，An表示n次有理系数多项式的全体，则 ?A=?An 。 n?0An由n+1个独立记号，即n次多项式的n＋1个有理系数所决定，其中首项系数为异于0的有理数，其余系数可取一切有理数，因此，每个记号独立地跑遍一个可数集，所以，An是可数集，A也是可数集。 91 13、设A是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集。 证明：A中任一元素由三个独立记号（a，b，r）所决定，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径，a、b各自跑遍全体有理数，r跑遍大于0的有理数，而且它们都是可数集，故A是可数集。 14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。 证明：设f(x)是(－∞，＋∞)上的单调增加函数，其不连续点的全体记为E，设x0?E，由数学分析知，x0必为第一类不连续点，即其左、右极限f(x0?0)、 f(x0?0)必存在，且f(x0?0)
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