则X1 -X2=
4、 若方程X2-4（ｍ-1）X+3ｍ2-２ｍ＋4K＝0，对于任意有理数ｍ都有有理根，求实数K的值。 5、求方程ｘ＋ｙ＝X2－ｘｙ＋ｙ2+１的实数解。
6、若对于任何实数a，关于X的方程，X2-2ax-a+2b=0都有实根则实数b的取值范围是（ ） 7、若ｍ是不为0的整数，当二次方程ｍX-（ｍ-1）X+1=0有有理根时，则ｍ=（ ） ８、方程| X2-5X|=ａ有且只有相异二实根，求a的取值范围
9、关于X的方程ａX+2（ａ-3）ｘ+（ａ-2）至少有一个整数解且a是整数，求a的值。 10、已知X1、X2是关于X的方程4 X-（3ｍ-5）ｘ-6ｍ＝0的两个实根，且|
222222x13|= 试求ｍ的值. x2211、设方程4X-2X-3=0的两个根为ｍ、ｎ，求4ｍ＋２ｎ的值. 12、若ａ、ｂ、ｃ都是实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，abc=1则
ａ、ｂ、ｃ中必有一个大于
3 . 2
ab2?b2?12007
13、设a+2a-1=0 b-2b-1=0 且ab ≠1则（）=
a24
2
2
14、已知ａ、ｂ为整数，且ａ＞ｂ，方程3 X2+3（ａ+ｂ）X+4ａｂ=0的两根?、?满足关系式?（?+1）+?（?+1）=（?+1）（?+1），试求所有的整数对（a、b）
15、关于X的方程，X2+（a-6）X+ａ=0 的两根均为整数，求a. 16、已知X1、 X2是方程4aX2-4ax+ａ+4=0的两个实根 （1）是否能适当选取a的值，使是（X1-2X2）（X2-2X1）的值为
2x2x12（2）求使+=的值为整数的整数a的值．
x1x25？ 417、求证：对于任意一矩形A，总存在矩形B，使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数K（其中K≥1）
第五讲：一元二次方程的应用
[知识点击]
1、 一元二次方程的应用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方程的有关知识，
是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。
2、 形如AX2+Bxy+cy2+DX+Ey+F的各项式叫做关于X、y的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待定前数法、公式
法等。公式法是先将原式整理成关于X（或y）的二次三项式，再运用求根公式。
3、 非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不定方程，采用整
数离析法求整数解。
4、 可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像X+
ａ与X2=
11=ａ+这类特殊类型的方程，显然ａ? 1时，X1=xa1就是它的两个根。无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解。 a[例题选讲]
例1：m为何值时，二次三项式x+2x-2+m(x-2x+1)是完全平方式？
22
解：原式=（ｍ＋１）X2＋２（１－ｍ）ｘ＋（ｍ—２）
令 △=0，即4(1-ｍ)2-4(ｍ＋１)（ｍ－２）＝０
解得ｍ=3
例2：分解因式X＋xy-2y-ｘ＋７y-6
22解：∵X＋xy-2y=（ｘ－ｙ）（ｘ＋2y）
∴设原式=（ｘ－ｙ＋ｍ）（ｘ＋2y＋ｎ）
2222 ＝X＋xy-2y=（ｍ＋ｎ）ｘ＋（２ｍ－ｎ）ｙ＋ｍｎ
?m?m??1?m?2? 比较对应项系数?2m?n?7 ?
?m??3?mn??6?
∴原式＝（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋２ｙ－３）
例3：在矩形地ABCD中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？
解：设道路宽X，AB=ａ，AD=ｂ，（ａ＞ｂ），则
（ａ-2X）（ｂ-2X）=
12
ａｂ，8x -4（ａ＋ｂ）ｘ＋ab=0 2解得ｘ＝
1［（ａ＋ｂ）±a2?b2］ 4若ｘ＝
11b［（ａ＋ｂ）＋a2?b2］，则ｘ＞（ｂ＋ｂ＋2ｂ）＞ 442 这不可能，舍去这个根。
则ｘ＝
1［（ａ＋ｂ）－a2?b2］ 4量法是：用绳量出AB+BC（即ａ＋ｂ之长），从中减法BD（即a2?b2）；将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度X。
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