大学生数学竞赛空间解析几何练习题

试题1：如果平面?:Ax?By?D?0与曲面z2?6xy?1的交线是圆，求实数A,B的比值。

解：不妨设B?0以平面?为新的X'Y'平面，以(0,?D/B,0)为原点，以

'''e3?(A,B,0)/A2?B2,e1'?(B,?A,0)/A2?B2,e2?e3?e1'?(0,0,1)为基本向量

建立一个新的坐标系O'X'Y'Z'，则坐标变换公式为

BA?''x?x?z?2222A?BA?B??ABx'?z' ?y??D/B?A2?B2A2?B2??z?y'??在新的坐标系中，平面的方程为：z'?0, 而曲线的方程为： y'2?6(BA2?B2x'?AA2?B2'z)(?D/B?A2A?B2'x?B2A?B2'z) ?1所以交线的方程为：

B?'2'y?6(x??22A?B???AA2?B2z')(?D/B?z'?0AA2?B2x'?BA2?B2z')?1

化简得：

B?'2'y?6(x)(?D/B??22A?B??z'?0?AA2?B2x')?1

因为交线是圆，所以 ?6AB?A2?B2 解得

A??322. B

试题2：求过点P(0,1,0)并且和两条直线 l1:??x?y?1?0?x?3y?z?1?0 ,l2:?2x?y?0x?2y?0??均相交的直线的方程。

解：把直线的方程化为点向式方程为： l1:x?1?y?2?z,l2:x?y?z?1,

001?21?1设所求的直线为l,记l和li所确定的平面为?i,i?1,2,那么l??1?2，

试题3：在二次曲面2x2?y2?z2?3xy?xz?6z?0上，求过点(1,?4,1)的所有直线的方程.

?x?1?lt解：设所求的直线的方程为:??y??4?mt,又因为所求的直线在二次曲

?z?1?nt?面上,所以对任意的t,有

?lt2)?m(t?24)? 2(1?(1n2t?)3?(l1tm)?t(?4)?l(t1?n)(t?1?)n6t?(1,

)0化简得;

t2(2l2?m2?n2?3ml?nl)?(7l?5m?7n)t?0 由于上式对任意的t,都成了，所以

?2l2?m2?n2?3ml?nl?0(1) ?7l?5m?7n?0?由于l,m,n可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):l?0,代入方程组(1)得

?m2?n2?0(1) ??5m?7n?0

上述方程只有零解. (2): l?1,代入方程组(1)得

?2?m2?n2?3m?n?0 ?(1)

7?5m?7n?0? 解之得??m?0?m??7/4 或者??n??1?n?1/4所以所求的直线为

?x?1?t?x?1?t?? ?y??4或者?y??4?7t/4

?z?1?t?z?1?t/4??试题4：求过点P(1,0,1)平行于y轴并与曲面y2?8xz?1的交线都是圆的所有平面的方程.

解：答案：1?x?(4?15)(z?1)?0

试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。 L1:??x?1?x??1x?2y?1z?2 ,L2:?,L3:??z?yz??y?345??答案：x2?y2?z2?1

试题6：确定实数m的值，使平面x?y?mz?0和单叶双曲面

x2?y2?z2?1相交，交线分别是椭圆和双曲线.

解:令e3'为所给的平面的单位法向量，即e3'?e1'?12?m2(1,1,?m),取

11''(1,?1,0),e2?e3?e1'?(?m.?m,?2). 由于原点在所给的平面222(m?2)'''',e3,e3],那么新上，以e1',e2为新的基本向量建立新的直角坐标系[O,e1',e2就坐标系之间的坐标变换公式为:

?1'm1x?y'?z'?x?2?2(m2?2)m2?2?1mm?y'?z', ?y??x'?22(m2?2)m2?2??2m?z??y'?z'?2(m2?2)m2?2?那么在新的坐标系中，所给的平面方程为:z'?0, 所给的单叶双曲面的和平面的交线的方程为：

x2?y2?z2?1m1'm2?1''2'2'2(x?y)?(?x?y)?(?y)?1?22222 2(m?2)2(m?2)2(m?2)??z'?0?化简得到：

?'2m2?2'2x?2y?1 ? m?2??z'?0?所以，当m?2时，交线是椭圆，当m?2时是双曲线，当m?2时是一对平行直线。