【点睛】
本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键． 20．（1）8（2）△AOB是等边三角形（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）由反比例函数系数k的几何意义解答；
（2）根据全等三角形△ACO≌△BDO（SAS）的性质推知AO＝BO，结合已知条件AO＝AB得到：AO＝BO＝AB，故△AOB是等边三角形；
（3）证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根据勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，结合已知条件OA＝OB，得到：AC2+OC2＝BD2+OD2，由坐标与图形性质知：a?()?b?()，整理得到：
2ka22kb2k2k2kk2(a2?b2）22b?a?b?()?() ，a?b?，易得，故OC＝OD． 22abaab22【详解】
解：（1）∵AC⊥y轴于点C，点A在反比例函数y?∴
k
（k＞0，x＞0）的图象上，且△AOC的面积为4， x
1|k|＝4， 2∴k＝8；
（2）由a＝1，b＝k，可得A（1，k），B（k，1）， ∴AC＝1，OC＝k，OD＝k，BD＝1， ∴AC＝BD，OC＝OD．
又∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∴△ACO≌△BDO（SAS）． ∴AO＝BO． 又AO＝AB， ∴AO＝BO＝AB， ∴△AOB是等边三角形；
（3）证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根据勾股定理得：AO＝AC+OC，BO＝BD+OD， ∵OA＝OB，
∴AC+OC＝BD+OD，
即有：a?()?b?()，
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ka22kb2k2k2k2(a2?b2）22∴a?b?()?()，a?b?，
baa2b222因为0＜a＜b，所以a2﹣b2≠0，
k2∴1=22，
abkk??1，负值舍去，得：?1， ababk∴b?，
a∴
∴OC＝OD．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法． 21．（1）见解析；(2)6. 【解析】 【分析】
（1）连接OC交BE于G，根据垂径定理得到OC⊥BE，根据平行线的性质得到∠OCM=∠OGB=90°，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE=∠OMC，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】
（1）证明：连接OE，OC
∵弧BC=弧CE ∴OC⊥BE ∵CM∥BE ∴OC⊥CM
∴直线CM是圆O的切线 (2)设半径为r ∵CM∥BE ∴∠CMO=∠ABE 在Rt△OCM中 sin∠CMO=
OC3=sin∠ABE= OM5?r3?，解得r?6 r?45∴圆O的半径是6 【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（1）②,③；（2）313 【解析】 【分析】
（1）①没有已知边，求不出边长，不合题意；②、③作出相应的垂线，根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素，符合题意；④只知道一个角与一条边，求不出其他的角，不合题意，进而得出正确的选项；
（2）过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，由AB的长，利用锐角三角函数定义分别求出AD及BD的长，再由BC?BD求出DC的长，在直角三角形ADC中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】
解：（1）①没有已知边，求不出边长，不合题意；
②、③作出相应的垂线，根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素，符合题意；④只知道一个角与一条边，求不出其他的角，不合题意， 故可以求出其余未知元素的三角形是②,③； （2）如图，作AD⊥BC，D为垂足， 在Rt△ABD中， ∵sinB＝
ADBD，cosB＝，AB＝15， ABAB∴AD＝AB?sinB＝15×0.6＝9，BD＝AB?cosB＝15×0.8＝12， ∵BC＝18，
∴CD＝BC?BD＝18?12＝6，
则在Rt△ADC中，根据勾股定理得：AC＝AD2?DC2?92?62?313．
【点睛】
此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，其中作出相应的辅助线是解本题第二问的关键．
23．（1）直线CE与⊙O相切，理由详见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）连接OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线； （2）作OG⊥AE交线段AE于G点，根据tan∠ACB=
35 41先求出AB的长度和DE的长度，然后分别求出AG2和OG的长度，利用勾股定理求出OA的长度即可解答. 【详解】
（1）直线CE与⊙O相切． 证明：如图，连接OE，
∵ 矩形ABCD中，BC∥AD， ∴ ∠1=∠3． 又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3． 则∠3=∠4． ∴ ∠2=∠4．
∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．
∴ ∠OEC=90°，即OE⊥CE， ∴ 直线CE与⊙O相切． （2）解：∵ tan ∠ACB=
AB1=， BC=4． BC2∴ AB=BC·tan ∠ACB=2． 又 ∠1=∠2．
∴ DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1． 过点O作OG⊥AE于点G，则 AG=
13AE=． 22313×=， 224∵ OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =
22?3??3?35∴ OA=OG?AG=?????=．
4?4??2?22【点睛】
本题考查了解直角三角形和圆与直线的位置关系，准确识图是解题的关键.
24．2:3 取格点D，连结CD，DM，则?CDM即为所求.（或者取格点E，连结AE，EN，则
?AEN即为所求.）
【解析】 【分析】
[1].设AN与网格的交点为D，根据DM//BC证出nAMD~nABN和nPMD~nPCN,得出比例式，再根据CN=BN即可得出MP:CP的值
[2]. .过点N作NG?CM, 过点P作PH?CN,垂足分别为G、H，根据MP:CP?2:3求出CP的长，再根据nPCH~nMCB求出PH的长，根据等积法求出NG,再用勾股定理得出GC的长，从而求出PG=GN,得出?CPN?45?，所以在网格中找出等腰直角三角形就符合题意． 【详解】
[1].设AN与网格的交点为D，
∵DM//BC，
∴nAMD~nABN，nPMD~nPCN,
∴MD:BN?AM:AB?2:3,MD:CN?MP:CP ∵CN=BN,
∴MP:CP?AM:AB?2:3, 故答案为：2:3
[2] 过点N作NG?CM, 过点P作PH?CN,垂足分别为G、H,
根据勾股定理得：CM=5, ∵MP:CP?2:3 ∴CP?35 5∵PH?CN, ∴PH//MB ∴nPCH~nMCB
∴PH:BM?3:5?PH:1，∴PH?∵SnCPN?∴NG?3, 511PC?NG?CN?PH 22525,根据勾股定理得：GC?, 555=NG, 5∴PG=PC-GC=∴nPNG是等腰直角三角形， ∴?CPN?45?
法一：取格点D，连结CD，DM，可得nCDM是等腰直角三角形，则?CDM即为所求. 法二：取格点E，连结AE，EN，可得nAEN是等腰直角三角形，则?AEN即为所求.
【点睛】
此题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 25．（Ⅰ）C(6,2)；（Ⅱ）D(2?【解析】 【分析】
（Ⅰ）如图①中，作CH⊥x轴于H．根据旋转的性质和三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ADCH是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
254585?4,)；（Ⅲ）点P坐标(0,). 5519
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