一、问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，矩形ABCD中，AD＝2AB，连接AC，将△ABC绕点A旋转到某一位置，观察图形，提出问题并加以解决． 二、实践操作，解决问题
(1)如图2，慎思组的间学将图1中的△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到△A'B'C'，此时B'C'过点D，则∠ADB′＝____度．
(2)博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3，此时点C落在CD的延长线上，连接BB'，该组提出下面两个问题，并请你解决该组提出的这两个问题． ①C'D和AB有何数量关系？并说明理由． ②BB'和AC'有何位置关系？并说明理由．
(3)精英组的同学在图3的基础上按逆时针方向旋转至AB'与对角线AC重合时，B'C'与AD交于点M，如图4，则S
：S△ABC＝_____．
22．某数学兴趣小组对函数y＝下
(1)请补全此表；
4
的图象和性质进行探究，他们用描点法画此函数图象时，先列表如x2?1
(2)根据表中数据，在如图坐标系中画出该函数的图象； (3)请写出此函数图象不同方面的三个性质；
(4)若点(m，y1)，(2，y2)都在此函数图象上，且y1≤y2，求m的取值范围 x y …… …… _____ _____ ____ ____ _____ _____ _____ _____ 0 4 1 2 2 3 4 …… 4 52 54 17
23．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：
（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2； （2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．
24．2018年底我市新湖一路贯通工程圆满竣工，若要在宽为40米的道路AD两边安装路灯，灯柱AB高10米，路灯的灯臂BC与灯柱AB成130°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路的中心线时照明效果最好，此时路灯的灯臂BC应为多少米？（结果精确到0.01）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
25．菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是1cm/s，点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙（0＜t＜4）．连接AP，AQ，PQ． （1）当t为何值时，PQ⊥AB；
（2）设△APQ的面积为y（cm2），请写出y与t的函数关系式； （3）当t为何值时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的
2？ 3（4）是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B A D B C C B B 二、填空题 13．＜ 14．2020 15．90 16．①②④
A B 17．x≠1.5 18．360 三、解答题 19．(1) y?123x?x?2;(2) 当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，220）、Q3（3，﹣2） 【解析】 【分析】
（1）直接将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y=
12
x+bx+c方程即可； 2（2）由（1）中的解析式得出点C的坐标C（0，-2），从而得出点D（0，2），求出直线BD：y＝?x+2，设点M(m，?m+2)，Q(m，
121212312
m?m?2)，可得MQ=?m+m+4，根据平行四边形的性质可得222QM=CD=4，即?m2+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q是以BD为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD+DQ=BQ，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD+BQ=DQ，列出方程可以求出Q3（3，-2）． 【详解】 （1）由题意知，
∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝
2
2
2
2
2
2
1212
x+bx+c上， 2?13?b?c?0???2?b??∴?解得：?2
1??42?4b?c?0??c??2??2∴所求抛物线的解析式为 y?123x?x?2 22123x?x?2，令x＝0，得y＝﹣2 22（2）由（1）知抛物线的解析式为y?∴点C的坐标为C（0，﹣2） ∵点D与点C关于x轴对称 ∴点D的坐标为D（0，2）
设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0） ∴0＝4k+2，解得：k??1 2∴直线BD的解析式为：y?1x?2 2∵点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q ∴可设点M?m,?∴MQ＝???13??1?m?2?，Q?m,m2?m?2? 22??2?12m?m?4 2∵四边形CQMD是平行四边形
∴QM＝CD＝4，即?12m?m?4=4 2解得：m1＝2，m2＝0（舍去）
∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形 （3）由题意，可设点Q?m,2
??123?m?m?2?且B（4，0）、D（0，2） 22?23?1?∴BQ＝(m?4)??m2?m?2? 2?2?23?1?DQ＝m2??m2?m?4?
2?2?2
2BD＝20
①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2，
222
33?1??1?∴20?m??m2?m?4??(m?4)2??m2?m?2? 22?2??2?2解得：m1＝8，m2＝﹣1，此时Q1（8，18），Q2（﹣1，0） ②当∠DBQ＝90°时，则BD+BQ＝DQ，
2
2
2
33?1??1?∴20?(m?4)2??m2?m?2??m2??m2?m?4?
22?2??2?解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此时Q3（3，﹣2）
∴满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）． 【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解． 20．-5≤x＜【解析】 【分析】
分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【详解】
225 2?2x?1＞4?x?1?①?解：?x?1x?1
?4?3?1②?由①得x＜
5； 25． 2由②得x≥-5；
∴不等式组的解集为-5≤x＜【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．(1)30；(2)①C′D＝AB；②AC′∥BB′；(3)3：4． 【解析】 【分析】
(1)由旋转性质知AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°，结合AD＝BC＝2AB可得AD＝2AB′，根据直角三角形的性质可得答案；
(2)①利用“HL”证Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得；②过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，证△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′＝∠C′AB，由AB＝AB′知∠ABB′＝∠AB′B，据此根据∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′＝2∠AB′B，即可得证； (3)设AB＝a，则BC＝2a，求出MC′：B′C′的值即可解决问题． 【详解】
解：(1)由题意知△ABC≌△AB′C′， ∴AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°， ∵AD＝BC＝2AB，
∴在Rt△AB′D中，AD＝2AB′， 则∠ADB′＝30°， 故答案为：30；
(2)①C′D＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC、∠ABC＝∠ADC＝∠ADC′＝90°， 由旋转知AC′＝AC， 在Rt△ADC′和Rt△ABC中，
?AD?CB∵? ， ?AC?AC?∴Rt△ADC′≌Rt△ABC(HL)， ∴C′D＝AB； ②结论：AC′∥BB′；
理由：如图a，过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，
则四边形HADC′是矩形， ∴C′H＝AD、AH＝C′D＝AB， 在△C′HA和△C′B′A中，
?HA?DC??Q?C?H?AD ?AC??C?A?∴△C′HA≌△C′B′A(SSS)， ∴∠HAC′＝∠C′AB， 又∵AB＝AB′， ∴∠ABB′＝∠AB′B，
在△ABB′中，∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B，即∠HAC′+∠C′AB′＝∠ABB′+∠AB′B， ∴2∠C′AB′＝2∠AB′B， ∴∠C′AB′＝∠AB′B，
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