当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，
y??x2?(a?1)x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：
∴
＜0且
＞
，
＜
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞ （a+1）3， 则a>–1，b<0. 故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，
根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．【2019年高考江苏】函数y?7?6x?x2的定义域是 ▲ .
【答案】[?1,7]
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得7?6x?x2?0,即x2?6x?7?0，解得?1?x?7， 故函数的定义域为[?1,7].
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
ax13．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)??e.若f(ln2)?8，则a?__________． 【答案】?3
ax【解析】由题意知f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)??e，
又因为ln2?(0,1)，f(ln2)?8， 所以?e?aln2??8，
两边取以e为底数的对数，得?aln2?3ln2， 所以?a?3，即a??3．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．
14．【2019年高考北京理数】设函数f?x??e?ae（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；
x?x若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】?1???,0?
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f?(x)?0可得a的取值范围.
若函数f?x??e?ae为奇函数，则f??x???f?x?,即ex?x?x?aex???ex?ae?x?，
即?a?1?e? ex??x??0对任意的x恒成立，
?x则a?1?0，得a??1.
x?x若函数f?x??e?ae是R上的增函数，则f?(x)? e?ae?0在R上恒成立，
x即a?e2x在R上恒成立， 又e2x?0，则a?0， 即实数a的取值范围是???,0.
?【名师点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查.
15．【2019年高考浙江】已知a?R，函数f(x)?ax?x，若存在t?R，使得|f(t?2)?f(t)|?实数a的最大值是___________. 【答案】
32，则34 32， 3【解析】存在t?R，使得|f(t?2)?f(t)|?即有|a(t?2)?(t?2)?at?t|?化为|2a3t?6t?4?2|?332， 32， 3222可得??2a?3t?6t?4??2?，
33242即?a?3t?6t?4??， 33?2?由3t?6t?4?3(t?1)?1?1，可得0?a?则实数a的最大值是
224. 34. 333【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得|a(t?2)?(t?2)?at?t|?2，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 316．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】①130；②15
【解析】①x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付?60?80??10?130元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
当y?120元时，李明得到的金额为y?80%，符合要求；
当y?120元时，有?y?x??80%?y?70%恒成立， 即8?y?x??7y,x?y， 8?y?因为???15，所以x的最大值为15.
?8?min综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 17．【2019年高考江苏】设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为
?k(x?2),0?x?1?2，且f(x)是奇函数.当x?(0,2]时，f(x)?1?(x?1)2，g(x)??1，其中k>0.
?,1?x?2??2若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)?g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
【答案】?,?12??? 34??【解析】作出函数f(x)，g(x)的图象，如图：
由图可知，函数f(x)?1?(x?1)2的图象与g(x)??1(1?x?2,3?x?4,5?x?6,7?x?8)的2图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)?g(x)有2个不同的实数根，
要使关于x的方程f(x)?g(x)有8个不同的实数根，
则f(x)?1?(x?1)2,x?(0,2]与g(x)?k(x?2),x?(0,1]的图象有2个不同的交点，
由(1,0)到直线kx?y?2k?0的距离为1，可得∵两点(?2,0),(1,1)连线的斜率k?|3k|?1，解得k?2(k?0)， k2?141， 312∴?k?， 34?12?综上可知，满足f(x)?g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为?，??. 34??【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数f(x)，g(x)的图象，数形结合求解是解题的关键因素.
专题3 导数及其应用
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y?aex?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A．a?e，b??1 C．a?e?1，b?1 【答案】D
【解析】∵y??ae?lnx?1,
∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1， 将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1. 故选D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
x
B．a=e，b=1 D．a?e?1，b??1
?x2?2ax?2a,x?1,2．【2019年高考天津理数】已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)?0x?alnx,x?1.?在R上恒成立，则a的取值范围为 A．0,1 C．0,e
??
B．0,2 D．1,e
??????
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