2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）
1???xcos,x?0,（1）设f(x)??其导函数在x?0处连续，则?的取值范围是_________． x?x?0,?0,【答案】λ>2
【考点】分段函数的导数、函数连续的概念、无穷小量的性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①分段函数求导时，函数连续部分可直接对函数求导，间断点处的导数需要用导数的定义来求； ②导函数也是函数，函数连续需要满足该处极限值与函数值相等； ③有界函数与无穷小的乘积是无穷小，与无穷大的乘积是无穷大；
11111???1???1??2?xcos?x(?sin)(?)??xcos?xsin?xxx2xx?解析:f?(x)??1?xcos?0?f(x)?f(0)1??2xlim?lim?limxcos?x?0x?0x?0x?0x?0x??f?(x)在x?0处连续，
?limf(x)与f(0)都存在且相等，
x?0x?0,x?0,
1均为有界函数， x11?若要limf?(x)?lim(?x??1cos?x??2sin)存在，必有lim?x??1?0,limx??2?0，
x?0x?0x?0x?0xx当x?0时，cos、sin1x???1?0且??2?0，即??2，
同理，若要limxx?0??21cos存在，必有limx??2?0，即??2，
x?0x此时，limf(x)?f(0)?0
x?0综上，?的取值范围是??2．
22（2）已知曲线y?x?3ax?b与x轴相切，则b可以通过a表示为b＝_________．
32【答案】4a^6
【考点】平面曲线的切线 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①曲线在切点的斜率为0，即y??0； ②切点还应满足曲线方程； 解析:由题设，在切点处有y?x?x022?a2. ?3x0?3a2?0，所以x032又在此点y坐标为0，即0?x0?3ax0?b,
22222246故b?x0(3a?x0)?a?4a?4a.
（3）设a?0，f(x)?g(x)???a,0?x?1,而D表示全平面，则
?0,其他,I???f(x)g(y?x)dxdy?_________．
D【答案】a^2
【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可；
②直接坐标系下，二重积分的运算，可根据被积区域属于X型还是Y型来选择适当的方法进行计算； 解析:?只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，
?I???f(x)g(y?x)dxdy?D0?x?1,0?y?x?1T22adxdy?a???dx?01x?1xdy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.
01T（4）设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵A?E???,B?E?1??T, a其中A的逆矩阵为B，则a?_________． 【答案】?1
【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★
【详解】解析:AB?(E???)(E? ?E????TT1??T) a11??T???T???T aa11TTTT ?E????????(??)?
aa1TTT ?E???????2a??
a1T ?E?(?1?2a?)???E,
a112于是有?1?2a??0，即2a?a?1?0，解得 a?,a??1. 已知a?0 ,故a??1.
a2（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为_________． 【答案】0.9
【考点】协方差的性质、相关系数的性质 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①cov(Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?cov(Y,X)?cov(Y,0.4)?cov(Y,X)； ②相关系数是指随机变量间的线性相关程度； 解析:方法1 ?YZ?Cov(Y,Z)Cov(Y,X)???YX??XY?0.9
DYDZDYDX方法2 Z?aX?b，若a?1，则Z与X正线性相关，所以Y与Z的相关系数与Y与X的 相关系数相等.
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n??1n2时，Yn??Xi依概率收敛于_________．
ni?1【答案】1/2
【考点】常用分布的数字特征、大数定律 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①X服从参数为?的指数分布，则E(X)?1?,D(X)?1?2；
②一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2,?,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值；
1n2解析:X,X,?,X满足大数定律的条件，则根据大数定律有Yn??Xi依概率收敛于
ni?121222n1n21n1n1n121122E(Yn)?E(?Xi)??EXi??[(EXi)?DXi]??[()?]?.
ni?1ni?1ni?1ni?1242二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?（A）在x?0处左极限不存在． （B）有跳跃间断点x?0． （C）在x?0处右极限不存在． 【答案】D
【考点】函数间断点的类型、导数的概念 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①导数的定义公式f?(x0)?lim （D）有可去间断点x?0．
f(x)（ ） xx?x0f(x)?f(x0)；
x?x0②可去间断点的定义：左右极限存在且相等，但不等于函数值或函数在该点没有定义； 解析:显然x?0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)?0.
于是有limg(x)?limx?0x?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)存在，故x?0为可去间断点. x?0xx?0（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是（ ） （A）f(x0,y)在y?y0处的导数等于零． （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零． （C）f(x0,y)在y?y0处的导数小于零． （D）f(x0,y)在y?y0处的导数不存在． 【答案】A
【考点】全微分存在的必要条件 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①可微必有偏导数存在；
②多元函数取极值的必要条件：fx?(x0,y0)?0,fy?(x0,y0)?0；
解析:可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy?(x0,y0)?0，即
f(x0,y)在y?y0处的导数等于零.
（3）设
pn?an?|an|a?|an|，qn?n，n＝1,2…，则下列命题正确的是（ ） 22（A）若
?an?1??n条件收敛，则
?p与?qnn?1?n?1???n都收敛．
（B）若
?an?1?n绝对收敛，则
?p与?qnn?1?n?1?nn?1?n?1?n都收敛．
（C）若
?an?1?n?1n条件收敛，则
?p与?qnn?1n?1n的敛散性都不定．
（D）若
?an绝对收敛，则
?p与?qn的敛散性都不定．
【答案】B
【考点】绝对收敛与收敛的关系、收敛级数的基本性质 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： ①如果级数
?un?1?n各项的绝对值所构成的正项级数
???un?1n?n收敛，则称级数
?un?1?n绝对收敛；如果级
数
?un?1?n收敛，而级数
??un?1n发散，则称级数
??un?1条件收敛；
②如果级数
?un?1?n绝对收敛，则级数
??un?1n必定收敛；
?③如果级数
?un?1n和
?vn?1n分别收敛于和s、?，则级数
?(un?1n?vn)也收敛，且其和为s??；
an?an2解析:
?an绝对收敛，即?an收敛，当然也有级数?an收敛，再根据pn?n?1n?1n?1???，
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