f?(x)??(?1)xnn?1?2n?1?x?(?1)xnn?1?2n?2?x?(?1)n?1x2n??n?0?x. 21?x上式两边从0到x积分，得
f(x)?f(0)???由f(0)?1, 得
t12dt??ln(1?x).
01?t22x1f(x)?1?ln(1?x2),(x?1).
2令f?(x)?0，求得唯一驻点x?0. 由于
1?x2f??(x)????1?0,
(1?x2)2f??(0)??1?0，
所以f(x)在x?0处取得极大值，且极大值为f(0)?1 七、（本题满分9分）
设F(x)?f(x)g(x)，其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：f?(x)?g(x)，
g?(x)?f(x)且f(0)?0f(x)?g(x)?2ex．
（1）求F(x)所满足的一阶微分方程； （2）求出F(x)的表达式． 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
?p(x)dx??p(x)dxdx?C? Q(x)e一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的解为y?Ce??????解析:（1）由F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)=g(x)?f(x)
22?[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x)=(2ex)2?2F(x)
可见F(x)所满足的一阶微分方程为F?(x)?2F(x)?4e. 相应的初始条件为F(0)?f(0)g(0)?0.
2x?2dx2dx2x2x?2x（2）F(x)?e?[4e?e?dx?C] =e?2x[4e4xdx?C] =e?Ce.
?? 将F(0)?0代入上式，得C??1 所以F(x)?e2x?e?2x.
八、（本题满分8分）
设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1． 试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0． 【考点】罗尔定理、介值定理 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①介值定理推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值； ②罗尔定理 如果函数f(x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导
（3）在区间端点处得函数值相等，即f(a)?f(b) 那么在(a,b)内至少有一点?，使得f?(?)?0.
解析:?f(x)在[0,3]上连续，所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，
?m?f(0)?M，m?f(1)?M，m?f(2)?M. ?m?f(0)?f(1)?f(2)?M.
3f(0)?f(1)?f(2)?1.
3由介值定理知，至少存在一点c?[0,2]，使f(c)?因为f(c)?1?f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在
??(c,3)?(0,3)，使f?(?)?0.
九、（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn???a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn???????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中
?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni??0试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，
（1）方程组仅有零解；
（2）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系． 【考点】齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★★ 【详解】
解析:方程组的系数行列式
a1?ba2a3a1a2?ba3a2a3?b|A|?a1???a1a2a3????a1?ban?banan??b??an?b?ba2b0?0a30b?0????an00 ?b?a??ba20b00??00ia30b?0i????an0nn?10?b(?ai?b).
i?1?b（1）当b?0且
?ai?1n?b??0时，A?0，方程组仅有零解．
（2）当b?0时，原方程组的同解方程组为a1x1?a2x2???anxn?0． 由
?ai?1ni?0可知，ai(i?1,2,?,n)不全为零. 不妨设a1?0，得原方程组的一个基础解系为
?1?(?当b??aaa2,1,0,?,0)T，?2?(?3,0,1,?,0)T，?,?n?(?n,0,0,?,1)T.
a1a1a1?a时，由?aii?1i?1nni??0知b≠0，系数矩阵可化为
n??a1??aii?1??a1???a1????a1??a2a2??aii?1na3a3a3??ai?a3i?1n???a2?a2?????an?? ?an???n?an??ai?i?1?an1倍）
i（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以??ai?1n?
n??a1??aii?1???1??1?????1?a2a3?10?01???00??an??0? 0????1?? （ 将第n行?an倍到第2行的?a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）
?
??1??1??????1??010?0001?00????0?0???. ??1?0??T
由于秩r(A)?n?1，则Ax?0的基础解系是??(1,1,?,1)．
十、（本题满分13分）
设二次型f(x1,x2,x3)?XAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． （1）求a,b的值；
（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵． 【考点】矩阵的特征值的性质、用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★★ 【详解】
T222(b?0),
?a0b???解析:（1）二次型f的矩阵为A?020. ????b0?2??设A的特征值为?i(i?1,2,3). 由题设，有
?1??2??3?a?2?(?2)?1，
a0b0??4a?2b2??12.
?1?2?3?02b0?2解得a?1,b??2. (2) 由矩阵A的特征多项式
??1?E?A?0?20?20?(??2)2(??3)，
??20??2得A的特征值?1??2?2,?3??3.
对于?1??2?2,解齐次线性方程组(2E?A)x?0，得其基础解系 ?1?(2,0,1)，?2?(0,1,0).
对于?3??3，解齐次线性方程组(?3E?A)x?0，得基础解系
T ?3?(1,0,?2).
TT由于?1,?2,?3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将?1,?2,?3单位化，由此得
?1?(25,0,15)T，?2?(0,1,0)T，?3?(15,0,?25)T.
令矩阵Q???1?2????3???????25015???1?，则Q为正交矩阵. 在正交变换X?QY下，有
2??0?5??0150
?200??，且二次型的标准形为f?2y2?2y2?3y2.
QTAQ??020123????00?3??
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