第20届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

vn?v0?(1?e)?(1?e?e2??en?1)u0 （7）

由式（6）可知，只有当碰撞次数n??时，碰地后竖直方向的分速度un才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于mg。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于?mg，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。

设经过n?n0次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在

n?n0?1次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因vn v0?(1?e)?(1?e?e2?0?1?0，由式（7）

?en0)u0?0

(1?e)?(1?en0?1)u0v0??0

1?e e两边取对数

n0?1?1?(1?ev)0

(1?e?)u0n0?1?令

B?(1?e)v0?1?lg?1?? （8） lge?(1?e)?u0?(1?e)v0?1?lg?1?? （9） lge?(1?e)?u0?若B恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间?t，水平速度变为零，则碰撞次数

n0?1?B

有 n0?B?1 （10）

若B不是整数，此种情况对应于在n?n0?1次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数

n0?1??B??1 有

n0??B? （11）

?B?表示B的整数部分。

由于经过n0?1次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在An0?1处作上下跳跃，直到enu0?0，即n??，最后停止在An0?1处。物块运动

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的最远水平距离s?A0An0?1。下面分别计算每次跳跃的距离。

A0A1?u0v0 （12） g22eu0v02eu02u1v1??(1?e)? A1A2?ggg22e2u0v02e2u0?(1?e)?(1?e) A2A3?gg…………

22en0u0v02en0u0?(1?e)?(1?e?e2? An0An0?1?gg?en0?1) （13）

所求距离为上述所有量的总和，为

u2u0v0(e?e2? s?0v0?gg ?2u203?e)?(1?e)?[e?e2(1?e)?e(1?e?e)2

gn0?en0(1?e?e2??en0?1)] （14）

分别求级数的和：

1?en0 （15） e?e?e??e?e1?ee?e2(1?e)?e3(1?e?e2)??en0(1?e?e2??en0?1)23n0

?e?e?21?e21?e?e31?e31?e?1?en0?e1?en01[e(1?e)?e2(1?e2)?e3(1?e3)?1?en2?02

?en0(1?en0)]1e?en0?1?en0?2?e ?(1?e1?e2) （16）

将以上两个关系式和u0?2gh代入式（14），得

s?v02h1?en04e?hn0n0?1(1?2e)?(1?e)(1?e) （17） 2g1?e(1?e)式中n0由式（10）或式（11）决定。

评分标准：本题25分。

式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）并说明n0的取值，给3分。

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