十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题18坐标系与参数方程
1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. x=
2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{
y=
1-t2
,
1+t2 (t为参数).以坐标4t1+t2原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.
3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程. 4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
π3π?,BC?,CD?所在圆的圆心分别是如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,4),C(√2,4),D(2,π),弧ABπ?,曲线M2是弧BC?,曲线M3是弧CD?. (1,0),(1,2),(1,π),曲线M1是弧AB
π
3
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3 5.(2018·全国1·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数).
1
(θ为参数),直线l的参数方程为(t
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为与☉O交于A,B两点. (1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为
,求a.
(θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参
(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l
9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最
3大值.
10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
(t为参数),直线l2的参数方程为
(m为参
π
数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,已知直 线l的参数方程为
(t为参数),曲线C的参数方程为
(s为参数).设P为曲线C上的动
点,求点P到直线l的距离的最小值.
2
??=??cos??,
12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{??=1+??sin?? (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是
(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=
,求l的斜率.
(α为参数).以=2
.
14. (2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)+(y-2)=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N, 求△C2MN的面积.
16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:极轴
3
π4
22
(t为参数,t≠0),其中 0≤α<π.cos θ.
(t为参数),以原点
sin θ.
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为
建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5, √3 ),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值. 19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,2]. (1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标. 21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q都在曲线 C:与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为方程为
(t为参数),曲线C的参数(t为参数),以坐标原点为极点,x(t为参数)上,对应参数分别为t=α
π
=1,直线l:(t为参数).
(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴
24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为C1上的动点,P点满足
=2
,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;
4
.
(α为参数).M是
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