2 时不变系统（重点）
判定公式：y(n)=T[x(n)] y(n-n0)=T[x(n-n0)] 例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。 （1）
y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)；
（2）解：
y(n)?x2(n)；
（1）令：输入为
x(n?n0)，输出为
y'(n)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)y(n?n0)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)?y(n)'
故该系统是时不变系统。
y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))T[ax1(n)]?ax1(n)?2ax1(n?1)?3ax1(n?2) T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2) T[ax1(n)?bx2(n)]?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故该系统是线性系统。 （2）
y(n)?x2(n) 令：输入为x(n?n0)，输出为y'(n)?x2(n?n0)，因为
y(n?n0)?x2(n?n0)?y'(n)
故系统是时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))2 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
2 ?ax12(n)?bx2(n)因此系统是非线性系统。
3 线性时不变系统（LTI系统）输入与输出之间关系（重点）：
h(n)?T[?(n)]
y(n)?m????x(m)?(n?m)
?5
y(n)?T[?x(m)?(n?m)]
m????y（n）=
m????x(m)h(n?m)=x（n）*h（n）
?重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积
【说明】离散时间LTI系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。
单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。
在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）=
m????x(m)h(n?m)=x（n）*h（n）
?物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。
注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。 卷积的求解方法：
线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M，线性卷积后序列的长度为N＋M－1。
卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。
1）将和用和表示，画出和这两个序列；
2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；
3）将移位n，得到；
4）将和相同m的序列值对应相乘后，再相加。
例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解：（翻转，移位，相乘，相加）
y(n)=
m????x(m)h(n?m)=?R(m)R(n?m)
44m?????
例：设
x(n)?n,0≤n≤4，h(n)?R4(n), x(n)和h(n)如图1所示。求x(n)和h(n)的卷积y(n)。
6
4 x(n) R4(n) n 0 1 2 3 4 图1
解 方法一：用图解法求卷积和。
1 0 1 2 3 n (1) 将
x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示(图2中(a)、(b)图)。
x(m)4R4(m)m0 1 2 3 4(a)R4(1?m)m-2 -1 0 1(d)R4(5?m)m0 1 2 3 4 5(f)n 0 1 2 3 4 5 6 7 (g)图2 图解法求卷积过程
R4(?m)mm-3 -2 -1 0(c)?y(n)100 1 2 3 (b)R4(2?m)m-1 0 1 2(e)
(2) 将
h(m)进行反折，形成h(?m)(图2中(c)图)；将h(?m)移位n，得到h(n?m)(图2中(d)、(e)、(f)图)。 x(m)和h(n?m)相同m的序列值相乘，再相加，得到y(n)(图2中(g)图)。
(3) 将
y(n)??1,3,6,10,9,7,4? 1≤n≤7
再讨论解析法求线性卷积。
y(n)?用式
m????x(m)h(n?m)??
求解上式首先要根据值区间为
x(m)和h(n?m)的非零值区间确定求和的上下限，x(m)的非零值区间为1≤m≤4，h(n?m)的非零
，或
0≤n?m≤3n?3≤m≤n，由两个非零值区间可得n的取值区间为1≤n≤7，它们的乘积
x(m)?h(n?m)的非零值区间应满足：
1≤m≤4 和 n?3≤m≤n
因此
当
n?1、n?7时，y(n)?0；
当
1≤n≤3时，
y(n)??m?1?m?0nn(n?1)2；
7
当
4≤n≤7时，
y(n)?m?n?3?4m?1?(n?1)(8?n)2。
与图解法结果一致。 y(n)用公式表示为
?n(n?1)/2?y(n)??(n?1)(8?n)/2?0?方法二：当序列
1≤n≤34≤n≤7其他
和M时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。
x(n)和h(n)的长度分别为有限长Nx(n)?0,1,2,3,4如图1所示：
???h(n)?1,1,1,1，
???
y(n)?0,1,3,6,10,9,7,4???
例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为1h(n)和h2(n)，输入为x(n)，求系统的输出y(n)。
已知：
x(n)?u(n)，h1(n)??(n)??(n?4)，h2(n)?au(n)。
n解：设第一个系统的输出为
?(n)，则
?u(n)?u(n?4)??(n)＋?(n?1)＋?(n?2)＋?(n?3)
?(n)?x(n)?h1(n)?u(n)?[?(n)??(n?4)]因而输出为
y(n)??(n)?h2(n)?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?anu(n)?anu(n)?an?1u(n?1)?an?2u(n?2)?an?3u(n?3)
4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|?x(n)|??，则|y(n)|??（记住!!）
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??（记住!!）
8
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1
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