2.性质
1）周期性（重点）： DTFT是关于ω的周期为2π的周期函数。
j?X(e)?n????x(n)e??j(??2?M)n?X(ej(??2?M))M为整数
j?j?X(e)?FT[x(n)]X(e)?FT[x2(n)]，那么1122)线性（重点）：设，
FT[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(ej?)?bX2(ej?)
3）时移特性
4）频移特性
5）时域卷积定理（重点）
6）频域卷积定理
7）帕斯瓦尔定理
时域总能量等于频域一周期内总能量。
7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。 8) X(ejω)的实部为ω的偶函数， X(ejω) 的虚部为ω的奇函数。 例：设系统的单位取样响应h(n)（1）求出?anu(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
系统输出序列
y(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。
解：（1）
y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ajw?nn?2u(n?2)?jwn
X(e)?（2）H(e)?jwjwn?????[?(n)?2?(n?2)]e?au(n)enjw?jwn?n?0?1?2e?j2w1 ?jw1?aen?????ane?jwn?1?2e?j2wY(e)?H(e)X(e)?1?ae?jwjw2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：
X(e
j?T)?Xa(j?)
^X(ej?T1?2?)??Xa(j??jk?s)?s?2?Fs?Tk???T 式中
13
2.3 序列的Z变换
1 Z变换定义
Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z变换定义为：
X(z)?k????x(n)z??n
Rx??z?Rx? ------记住!
其中，z?es,s???j?。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域(ROC)。
注意：Z变换+不同收敛域
唯一?对应不同收敛域的不同序列
序列
?（Z变换+收敛域）(重点)
例：求以下序列的Z变换及收敛域： （1）?2（2）2?nu(?n?1)；
?nu(?n)；
[u(n)?u(n?10)]
?n（3）2?n 解：（1）ZT[2u(n)]?n????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?n??11 ,z?1?2?1z?12?nZT[?2u(?n?1)]?（2）
?nn?????2??nu(?n?1)z?n??1??2z?n???2nznn?1? ??n?2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n（3）
n?0 ?1?2z,0?z???1?11?2z?10?10
[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用
X(ej?)?X(z)z?ej?。
2 Z变换和DTFT之间的关系(重点)
DTFT 为单位圆上的z变换。数学表达为：
X(ej?)?X(z)z?ej? ------ 记住并理解!
3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)
收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。 一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：Rx??|z|?Rx?
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?x(n)N1?n?N2有限长序列：x(n)??其它?0右序列：
，0?|z|??
?x(n)N1?n??，|Z|>Rx- x(n)??其它?0?x(n)???n?N2左序列：x(n)??，
0其它?（|z| ，N>0时：0≤|Z| x+22 双边序列：x(n),???n??，Rx??|z|?Rx? 总结：a. ROC不包含任何极点。 b.有理 z变换的收敛域ROC由其极点界定。 c. 对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC 为整个z-平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。 d. 对于因果序列x[n],其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为 z?Rx?。 Im{z}Im{z}Re{z}Re{z}图2.1: 因果序列的z变换的收敛域ROC 图2.2: 反因果序列的z变换的收敛域ROC e. 对于反因果序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为 z?Rx?。 4. Z反变换(重点) 常用序列的Z变换(重点--记住!!)： Z[?(n)]?1,z|?|01,|z?|1?11?z 1Z[anu(n)]?,|z?||a|1?az?11Z[bnu(?n?1)?]z,|?b|||?11?bzZ[u(n)]? 逆变换 15 x(n)?12?j?cX(z)zn?1dzx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 留数定理： x(n)??[X(z)zn?1在C内极点留数之和] x(n)???[X(z)zn?1在C外极点留数之和] X(z)??Ak，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。(重点) ?11?akz留数辅助定理： 利用部分分式展开： 基本要求：用部分分式展开法求z反变换。 例：假设 X(z)?11?1?0.5z?11?0.3z?1 ，收敛域ROC 为 0.3?z?0.5,则 X(z) 的z反变换为 ( ?(0.5)nu(?n?1)?(0.3)nu(n) )。 说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。 ??nu(?n?1)?典型序列的z变换表达式是否记住了？ 11??z?1ROC:z??这两个典型z变换对，对求z ?nu(n)?变换或逆z变换非常重要。 11??z?1ROC:z??X(z)?例：已知 zz?z?0.5z?2，试求与 X(z)对应的所有可能的序列x(n)。 解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。 X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：z?0.5， 0.5?z?2，z?2，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下： （1） z?0.5 对应左边序列 ∴ x(n)??0.5nu(?n?1)?2nu(?n?1) nn0.5?z?2x(n)?0.5u(n)?2u(?n?1) （2） 对应双边序列 ∴ （3） z?2 对应右边序列 ∴ x(n)?0.5nu(n)?2nu(n) X(z)?1(1?2z?1)(1?0.5z?1) z?2，用部分分式展开法求逆Z变换。 X(z)的分子分母同乘以z2，得： 例：设 解：先去掉z的负幂次，以便于求解，将 z2X(z)?(z?2)(z?0.5) 16
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