将等式两端同时除以z，得：
AA2X(z)z??1?z(z?2)(z?0.5)z?2z?0.5
A1?Res[X(z)X(z),2]?(z?2)zz?(z?2)z?2z(z?2)(z?0.5)?z?243
??z?2A2?Res[X(z)X(z),0.5]?(z?0.5)zz4z1z???3z?23z?0.5
x(n)??(z?0.5)z?0.5z(z?2)(z?0.5)13
X(z)?因而得：
由收敛域知，
x(n)为右边序列，得：
4n1?2u(n)??0.5nu(n)33
主要应用于单阶极点的序列。
5 Z变换的性质
1线性性质M(z)ZT[m(n)]?○
2序列的移位性质 ○
aX(z)?bY(z)Rm??z?Rm?
X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx?
ZT[x(n?n0)]?z?n0X(z)Rx??z?Rx?
3序列乘以指数序列的性质 ○
X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx? y(n)?anx(n)a为常数 Y(z)?ZT[anx(n)]?X(a?1z)4序列乘以n的ZT○
aRx??z?aRx?
X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx?
ZT[nx(n)]??z5复共轭序列的ZT○
dX(z)dxRx??z?Rx?
X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx?
ZT[x*(n)]?X*(z*)Rx??z?Rx?
6初值定理○
X(z)?ZT[x(n)]
x(0)?limX(z)
z??17
7终值定理lim○
z??x(n)?lim(z?1)x(z)
z?18时域卷积定理 ○设
?(n)?x(n)*y(n)
X(z)?ZT[x(n)]Rx??z?Rx? Y(z)?ZT[y(n)]Rx??z?Rx?
则W(z)?ZT[?(n)]?X(z)Y(z)Rw??z?Rw?
9复卷积定理ZT[x(n)]?○
X(z)Rx??z?Rx?
ZT[y(n)]?Y(z)Ry??z?Ry?
?(n)?x(n)y(n) W(z)?10○帕斯维尔定理ZT[x(n)]?2?j?1czd?X?(Y)()??Rx?Ry??z?R?xR?y
X(z)Rx??z?Rx?
ZT[y(n)]?Y(z)Ry??z?Ry?Rx?Ry??1，Rx?Ry??1
那么
n????x(n)y(n)?2?j?*?1cX(?)Y*(1??1)?d? *2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应
1 系统函数定义（重点）
一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应
h(n)来表征，即：y(n)?x(n)?h(n)
对等式两边取Z变换并
根据时域卷积定理，有：
Y(z)?X(z)H(z)
H(z)?则：特性。
Y(z)X(z) 一般称H(z)为系统的系统函数（系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比），它表征了系统的复频域
2 系统函数与差分方程的关系
?ay(n?k)??bx(n?k)(给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差分方程。)
kkk?0k?0??18
3 频率响应（重点）
频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。 频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT：
j?H(e)?n????h[n]e?j?n?H(ej?)ej?H(e?j?)（重点）
其中， |H(e
jω
j??H(e) 称为相频响应。系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频
)| 称为幅频响应，
率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。
注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(ejω)可根据DTFT 与z变换之间的关系简单得到：
X(ej?)?X(z)z?ej? ?
H(ej?)?H(z)z?ej?稳态响应的求解 ( 重点 ) 结论：
对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(ejω)|进行加权，并通过相频响应?H(ej?)在 ω=ω0的值进行移位，即：y[n]= |H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+?H(ej?0))
是关于ω的（偶函数）。
例：假设实序列x[n]的DTFT 记为
X(ej?), 则其幅值X(ej?)说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。 例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应H(ej?)?11?0.5e?j?,如果系统输x(n) =cos(?3n), 响应的稳态输出响应y(n) =
(
1.15cos(?3n?0.52) )。
H(ej?)?H(ej?)ej?H(ej?)说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：
j，则输出信号为：
j?y[n]?H(e3)cos(n??H(e3))3?j?j?H(e)的具体表达式，所以需要分别计算出
。这里由于给出了
?H(e3)和
?H(e3)之值。
4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点）
j?Y(z)?系统函数：H(z)?X(z)?bziM?i?azik?0i?0M（传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h（n）的Z变换。）
?i简答题：怎样在z域表示离散时间LTI 系统?
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答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|?x(n)|??，则|y(n)|??
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!） 2)因果系统：n0时刻的输出
y(n0)只由n0时刻之前的输入x(n),n?n0决定
?0,n?0
线性移不变系统是因果系统的充要条件：h(n)或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（牢记此结论!） 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：
n????|h(n)|??，h(n)?0,n?0
z|?Rx?,Rx??1
, 则系统的单位冲激响应为( 0.5nu（n） )。
?或：H(z)的极点在单位园内（牢记此结论!）H(z)的收敛域满足：|例：.一因果LTI 离散时间系统的传输函数H(z)?11?0.5z?1?说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换，但要注意系统的因果性如何。 例：因果IIR 离散时间LTI 系统，其传输函数H(z)例：一FIR离散时间 LTI 系统总是( 稳定)。
说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的ROC的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的ROC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。
对于FIR系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR系统始终是稳定的。
11?0.5z?1，则系统( 稳定)。
5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定
X(z)??biz?ak?0i?0NkM?i?A?(1?ziz)?1Mz?k?(1?zk?1i?1N?A?M(z?z)z?iMkz?1)?(z?zk?1i?1N
k)z?N（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）
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