第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。
3.1 离散傅里叶级数
1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。
周期为N的复指数序列的基频序列为
k次谐波序列为
由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展
开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即
（*）
式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。利用
将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和
即
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由于
所以也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。
令，则
其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。
2.周期序列的傅里叶变换
思路：由
利用和DTFT的频移特性，可得
傅里叶变换时域、频域对应关系：
根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期。这种对应关系很重要，要求熟记。
3.2 有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)
1 定义
knX(k)?DFT[x(n)]?{DFS[x(?n?N)]}RN(k)??x(n)WN，0≤k≤N?1------记住!
n?0N?1
x(n)?IDFT[X(k)?]{IDFS[X(?k?N1)]R}n()?NN?X(k)Wk?0N?1?kn，0≤n≤NN?1------记住!
其中，
WN?e?j2?N
得有限长序列，但他们分别是由周期序列
应当注意，虽然
x(n)和X(k)都是长度为Nxp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，
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本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。 DFT的隐含周期性：WN例：设解：
kk?mN?WNk,m为整数，N为自然数
x(n)?R4(n)，求x(n)的4点DFT。
N?1n?0?j2?knNx(n)的4点离散傅里叶变换为：
X(k)??x(n)e??en?03?j2?kn4?e3?j?k4sin(?k)sin(k)4 k?0,1,2,3
?
2 离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点)
X(k)?X(j?)|??2?kN?X(z)|z?ej2?kN
DFT的物理意义：X（k）为x(n)的傅里叶变换点等间隔采样。 简答题：
X(ej?)在区间[0,2?]上的等间隔采样。X(k)为X(z)在Z平面单位圆上的N
1．一个序列的DFT与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？
2．序列的DTFT和序列的z变换间的关系是什么？序列的DFT和序列的Z变换间的关系是什么？
3 时域分析 (重点!)
记住结论：时域抽样对应频域的周期拓展，频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。
y(n)?这可以表述为如下公式：
m????x(n?mN) (重点!)
?3.3 离散傅里叶变换的基本性质
1 线性性质
若
y(n)?ax1(n)?bx2(n)则Y(k)?DFT[y(n)]?aX1(k)?bX2(k)
2 循环移位性质
设
x(n)是长度为M的有限长序列，则
x(n)的N
点循环移位定义为（
N?M）：
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y(n)?x((n?m))NRN(n)循环移位的实现步骤：
序列点数M不够时补零，补到所需点数N(补充N-M个零点)x(n)将x(n)以N为周期延拓为周期序列~x(n)?x((n))N移位~x(n?m)?x((n?m))N取主值序列y(n)?x((n?m))NRN(n)
3 循环卷积定理（重点）
1）设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为
yc(n)?[?h(m)x((n?m))L]RL(n)
m?0L?1式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。 2) 循环卷积矩阵 特点：
x(L?1)x(L?2)?y(0)c??x(0)?y(1)??x(1)x(0)x(L?1)c????y(2)c?＝?x(2)x(1)x(0)????????x(L?1)x(L?2)x(L?3)?y(L?1)c???x(1)??h(0)??h(1)?x(2)????x(3)??h(2)???????x(0)????h(L?1)??（1）第1行是序列{x(0),x(1),?,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M （2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。 （3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。 循环卷积和线性卷积的区别 线性卷积：翻折—>乘加—>移位 ：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k） 循环卷积：补零—>周期延拓—>翻折—>循环移位—>对应值相加 例：计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。 解：按照循环卷积矩阵写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为 ?yc(0)??1 ?y??2(1)c?????y??3 c(2)????yc(3)??4 432??1??10??1??10?143???????214??1??10??????321??1??10?24
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