数字信号处理复习总结

NN?1?1?22rk?X(k)?x1(r)WN/2??x1(r)WNrk/2?DFT[x1(r)]N/2?1??r?0r?0?NN?1?1?22?X2(k)??x2(r)WNrk/2??x2(r)WNrk/2?DFT[x2(r)]N/2?r?0r?0?

将X(k)又可以写为

kX(k)?X1(k)?WNX2(k)k?0,1,k?0,1,N??kX?k???X1(k)?WNX2(k)2??N?12

N,?12,上式将N点DFT分解为两个N/2点的DFT运算，运算过程如下图示

利用蝶形运算求解。

DIT-FFT算法与DFT运算量的比较

直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为

N2Nlog2N2?2Nlog2NN越大，FFT的优点越为明显

说明：至少掌握第一次分解的过程（要能写出相关数学表达式分析）并画出至少第一次分解的蝶形图(重点)

2频域抽样法

将长度为N=2M的序列x(n)前后对半分开, 其N点DFT可表示为

N?1n?0N?12n?0N?1X(k)??x(n)WN?12n?0nkN

??x(n)WnkNnk??x(n)WNNn?2

??x(n)WN?12nkNn??kN???2????x?n??WN2?n?0?N?12?N?

?N??nk????x(n)?x?n??WNNk/2?WN2??n?0??按k的奇偶可将X(k)分为两部分 k取偶数时

k?0, 1, ?,N?1

?N??2nr?X(2r)???x(n)?x?n???WN2???n?0??N??nr????x(n)?x?n???WN/22???n?0?k取奇数时

N?12N?12r?0,1,,N?12

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?N???X(2r?1)???x(n)?x?n???WNn(2r?1)2???n?0?N?12r?0,1,,N?1 2??N??n?nr?????x(n)?x?n???WN?WN/2

2??n?0????N?12?rn?N??X(2r)?x(n)Wx(n)?x(n)?xn?1N/2????12???n?0?令? 得到?N/2?1?N???n?x(n)?x(n)?xn?rn?WX(2r?1)?x(n)W2N????2N/2?2??????n?0?N/2?1?

?注：DIT—FFT与DIF—FFT比较

DIT 奇偶分组：输入倒，输出顺 计算：先乘后加（减） DIF 前后分组：输入顺，输出倒 计算：先加（减）后乘

第五章：本章主要掌握IIR和FIR两种滤波器的基本网络结构。

5.1 基本单元结构

一个数字网络可以用差分方程表示，也可以用单位脉冲响应来表示，也可以用系统函数来表示。但是对于研究这个系统的实现方法，即它的运算结构来说，用方框图或信号流图最直接。对于延时、乘以系数以及相加这三种基本运算来说，方框图和信号流图表示法如下图所示。

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以二阶数字滤波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)为例，它的方框图和信号流图如下图所示。

一般来说，用方框图表示数字滤波器，结构明显、直观；而用信号流图来表示，则简单、方便。 利用图论中的转置定理，可以把一个信号流图转化为另一个等价的信号流图。

转置定理如果将流图中所有支路方向都颠倒或反向，并交换输入x(n)和输出y(n)，则其特性保持不变，新流图是原流图的转置形式。 例如，上图中流图的转置形式如下图(a)所示，但通常的习惯是将输入x(n)画在流图的左边，而输出画在流图的右边，这样得到图(b)所示的转置结构。

5.2 无限长脉冲响应基本网络结构

IIR滤波器具有以下特点：单位脉冲响应h(n)无限长；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有极点存在；结构上存在从输出到输入的反馈，即结构是递归型的。

1. 直接型

对应的系统函数为：H(z)??bzii?0Mi?0M?i

1??aiz?i直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，书本讲授的为直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推导，利用到线性移不变系统，交换级联子系统的次序，系统函数不变。

对于直接Ⅱ型，要求能够直接由差分方程或系统函数绘出相应的信号流图，反之亦然。 特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。

2．级联型

对应的系统函数为：H(z)?A?(1?czrM?1)

?(1?dzrr?1r?1N?1)把滤波器用若干二阶子网络级联起来构成，每个二阶子网络采用直接Ⅱ型结构来实现。

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特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。

3．并联型

对应的系统函数为：

H(z)?H1(z)?H2(z)?...?Hk(z)

特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不积累。运算速度最高。

8z3?4z2?11z?2H(z)?531z3?z2?z?448画出直接I型、直接II型的结构流图。 例：已知IIR DF的系统函数为

解：先将

H(z)化为z?1的有理式

8?4z?1?11z?2?2z?3H(z)?5311?z?1?z?2?z?3448直接I型：

直接II型：

1?2z?1?2z?2?z?3H(z)?1?2z?1?z?3例：已知IIR DF的系统函数为

解：级联型

画出级联型和并联型的结构流图。

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