2．(2017·北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．
答案 23
解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知，正方体的棱长为2， 故SD＝2＋2＋2＝23.
3．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 9答案 π
2
解析 设正方体的棱长为a，则6a＝18，∴a＝3. 设球的半径为R，则由题意知2R＝a＋a＋a＝3， 3434?3?39∴R＝.故球的体积V＝πR＝π×??＝π.
233?2?2
4．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 答案 36π
解析 如图，连接OA，OB.
2
2
2
2
2
2
2
9
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA?平面SCA， ∴OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， 11r∴三棱锥S－ABC的体积V＝××SC×OB×OA＝，
323即＝9，∴r＝3，∴球O的表面积S＝4πr＝36π.
3押题预测
1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )
3
r3
2
A．16
C．22＋26＋8
B．82＋8 D．42＋46＋8
押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积． 答案 D
解析 由三视图知，该几何体是底面边长为2＋2＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P－
2
2
ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，
易得BC⊥PC，BA⊥PA，
又PC＝PD＋CD＝2＋?22?＝23， 1
所以S△PCD＝S△PAD＝×2×22＝22，
2
222
2
S△PAB＝S△PBC＝×22×23＝26.
所以几何体的表面积为46＋42＋8.
2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥
10
12
S－ABC的外接球的表面积为( )
A．6π B．12π C．32π D．36π
押题依据 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点． 答案 B
解析 因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面
SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，
且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)＝3×2＝12，所以球的表面积S＝4πR＝12π，故选B.
2
2
2
3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．
押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注． 答案
42
3
解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为
S＝2πr×21－r2
＝4πr1－r ≤4π×
2
r2＋?1－r2?
2
＝2π
2??
?当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取等号?.
2??
2V球42
时，＝＝. 2V圆柱3?2?2
π??×2?2?
4π3
×13
所以当r＝
11
A组 专题通关
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案 B
解析 P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.
2. (2018·浙江省金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是( )
A．2 B．22 C．23 D．4 答案 C
132
解析 由三视图得该几何体如图中的三棱锥A－BCD所示，则S△ABD＝×(22)×＝23，
22
S△BCD＝×2×2＝2，S△ABC＝S△ADC＝×22×2＝22，所以最大面的面积为23，故选C.
1
212
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