答案 26＋234
1252
π 3
解析 由三视图得该几何体是一个底面为直角边分别为3,4的直角三角形，高为5的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面直角三角形中边长为4的直角边所对的顶点，则其表面1111
积为×3×4＋×3×5＋×5×5＋×34×4＝26＋234，其外接球的半径为
2222
22
?5?2＋?3＋4?2＝52，则外接球的体积为4π×?52?3＝1252π. ?2?????233???2??2?
7
11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面
8所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π
解析 如图，∵SA与底面所成角为45°，
∴△SAO为等腰直角三角形． 设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r. 7
在△SAB中，cos∠ASB＝，
8∴sin∠ASB＝15， 8
1
∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB
21152＝(2r)·＝515， 28解得r＝210，
∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45，
17
∴S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.
π
12．已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β 内的正投影为点A，过点A作
3
AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，PA＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋
∠DAB＝π.若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________． 答案 86π
解析 ∵∠BCD＋∠DAB＝π， ∴A，B，C，D四点共圆，直径为AC. ∵PA⊥平面β，AB⊥l，∴易得PB⊥l， 即∠PBA为二面角α－l－β的平面角， 即∠PBA＝π
3，
∵PA＝23，∴BA＝2， ∵BC＝22，∴AC＝23. 设球的半径为R，则23－
R2－(3)2＝R2－(3)2，
∴R＝6，V＝4π3
3
(6)＝86π.
B组 能力提高
13．若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A.
81π5 B.81π20 C.101π101π
5 D.20
答案 C
解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，
18
由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心
F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O3＋3－4145
为四棱锥外接球的球心，在△PAD中，cos∠APD＝＝，则sin∠APD＝，
2×3×3992PF＝
49595
＝＝，PF＝，
sin∠APD45510
9
955
＝， 1010
2
2
2
ADPE＝9－4＝5，OH＝EF＝5－BH＝
1
16＋4＝5， 2
OB＝OH2＋BH2＝
5505＋5＝， 10010
505101π
所以S＝4π×＝.
1005
14.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )
A．(1,2) C．(0,2] 答案 D
解析 设四棱锥一个侧面为△APQ，∠APQ＝x，过点A作AH⊥PQ，
B．(1,2] D．(0,2)
1AC－PQ22－PQ则AH＝PQ×tan x＝＝
2221
＝2－PQ，
2
222tan x∴PQ＝，AH＝，
1＋tan x1＋tan x 19
1
∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH
2222tan x＝2××
1＋tan x1＋tan x＝
8tan x?π，π?，
，x∈?42?2
?1＋tan x???
∴tan x>0， ∴S＝＝
8tan x8tan x＝ 22
?1＋tan x?1＋tanx＋2tan x8≤＝2， 2＋2
＋tan x＋28
1tan x?当且仅当tan x＝1，即x＝π时取等号?， ??4??
而tan x>0，故S>0，
∵S＝2时，△APQ是等腰直角三角形，
顶角∠PAQ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥， ∴S的取值范围为(0,2)，故选D.
15．(2018·宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．
答案 4＋3＋15
205
π 3
解析 由三视图得几何体的直观图如图所示，
111
∴S表＝2××2×2＋×23×5＋×23×1
222
20
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