数的开方
中考要求
内容 平方根、算术平方根 立方根 实数 二次根式及其性质
略高要求 会用平方运算求某些非负数的平方根 基本要求 了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 较高要求 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 了解实数的概念 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件 会进行简单的实数运算 会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值 知识点睛
板块一 平方根、立方根、实数
实数可按下图进行详细分类：
???正整数???????整数?0??负整数??有理数???有限小数或无限循环小数?????正分数?实数? ?分数?????负分数?????正无理数???无理数???无限不循环小数???负无理数??实数与数轴上的点一一对应.
(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根． 也就是说，若x2?a，则x就叫做a的平方根． 一个非负数a的平方根可用符号表示为“?a”．
算术平方根：
一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“a”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根
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在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若a?0，则a?0.
平方根的计算：
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
通过验算我们可以知道：
⑴当被开方数扩大(或缩小)n2倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(n?0)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
?a(a?0)①若a?0，则(a)2?a；②不管a为何值，总有a2?|a|??
?a(a?0)?注意二者之间的区别及联系．
⑶若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间，即0?a1?a?a2时，它的算术平方根也介于a1、a2 之间，即：0?a1?a?a2利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．
立方根的定义及表示方法：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若x3?a,则x就叫做a的立方根， 一个数a的立方根可用符号表“3a”，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的“a”其实省略了根指数“2”，即：2a也可以表示为a. 3a读作“三次根号a”，2a读作“二次根号a”，a读作“根号a”.
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
通过归纳我们可以知道：
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)n3倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n倍． ⑵3a3?a，(3a)3?a
⑶若一个数a介于另外两个数a1、a2之间，即a1?a?a2， 它的立方根也介于3a1和3a2之间，即3a1?3a?3a2 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．
例题精讲
一、实数的概念
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12，0.1235中无理数的个数是（ ） 【例1】 在实数0，，A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x为64时，输出的y是（ ）
输入x取算术平方根是有理数是无理数输出y
A．8 B．22 C．23 D．32
【例3】 证明2是无理数。
【巩固】说明边长为1的正方形的对角线的长度为2。
【例4】 下面有四个命题：
①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数．
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。
【巩固】已知在等式
ax?bbcd为有理数，x是无理数。 ?s中，a，，，cx?d（1）当a，，，bcd满足什么条件是，s是有理数？ （2）当a，，，bcd满足什么条件是，s是无理数？
【例5】 若
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a?ba是不等于1的有理数，求证：为有理数。 a?bb
【巩固】已知a，b是两个任意有理数，且a?b，问是否存在无理数?，使得a???b成立？
二、数的开方
【例6】 |?9|的平方根是（ ）
A．81 B．?3 C．3 D．?3
【例7】 下列命题中，真命题是（ ）
A．20012的平方根是2001 B．?49的平方根是?7 C．64??8 D．若a2?b2，则a2?b2
【例8】 若A??a2?9?，则A的算术平方根是_________。
4
【例9】 判断下列各题，并说明理由
⑴81的平方根是?9． ⑵a一定是正数． ⑶a2的算术平方根是a． ⑷若(?a)2?5，则a??5. ⑸9??3. ⑹?6是(?6)2的平方根． ⑺(?6)2的平方根是?6．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⑻若x2?36，则x??36??6. ⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ⑽如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ⑾算术平方根一定是正数． ⑿?a2没有算术平方根． ⒀64的立方根是?4．
11⒁?是?的立方根．
26 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
⒂3x3?x． ⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根．
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