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2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）f(x)是在(0,??)内单调增加的连续函数，对任何b?a?0，记M?ba1N?[b?f(x)dx?a?f(x)dx]，则必有（ ）
020?baxf(x)dx，
（A）M?N；（B）M?N；（C）M?N；（D）M?2N； （2）设函数f(x)在(??,??)内连续，在(??,0)为
y (0,??)内可导，函数y?y(x)的图像
O x
则其导数的图像为（ ）
y y O x O x
(A) (B)
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y y O x O x
(C) (D)
(3)设有下列命题： ①若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛； ②若?un收敛，则?un?1000收敛；
n?1n?1n?1???????un?1?1，则?un发散； ④若?(un?vn)收敛，则?un，?vn收敛 ③若limn??un?1n?1n?1n?1n正确的是（ ）
（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④
ln(1?x)?(ax?bx2)?2，则（ ） (4)设limx?0x2（A）a?1,b??55；（B）a?0,b??2；（C）a?0,b??；（D）a?1,b??2 22(5)设A是n阶矩阵，齐次线性方程组（I）Ax?0有非零解，则非齐次线性方程组（II）
ATx?b，对任何b?(b1,b2,bn)T
（A）不可能有唯一解； （B）必有无穷多解；
（C）无解； （D）可能有唯一解，也可能有无穷多解
?AT(6)设A,B均是n阶可逆矩阵，则行列式?2??0（A）(?2)nAB?10?的值为 ?1?B??1； （B）?2ATB； （C）?2AB?1； （D）(?2)2nAB
(7)总体X~N(2,4)，X1,X2,,Xn为来自X的样本，X为样本均值，则（ ）
1n1n22(Xi?X)~?(n?1)； （B）(Xi?2)2~?2(n?1)； （A）??n?1i?1n?1i?1 精品.资料
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nXi?22X?X22（C）?()~?(n)； （D）?(i)~?2(n)；
22i?1i?1n(8)设随机变量X,Y相互独立且均服从正态分布N(?,?)，若概率P(aX?bY??)?（ ） （A）a?21则211111111（B）a?,b??；（C）a??,b?；（D）a??,b??； ,b?；
22222222二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)已知y?f?(10) 方程
dy?3x?2?2?f(x)?arcsinx，，则?dx?3x?2?? 。
x?0?x0x13f(x?t)dt?x??f(t)dt满足f(0)?0的特解为 。
03x2y222(11) ??(2?2)d?? 。其中D为x?y?1。
abDx2x4x6???(12)?x(1?01!2!3!1)dx? 。
(13)设A是三阶矩阵，已知A?E?0,A?2E?0,A?3E?0，B与A相似，则B的相似对角形为 。
(14) 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
?2u?2u?2u?4?32?0。确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化为?x2?x?y?y?2u?0。 ????(16) （本题满分10分）求幂级数
?n(x?1)n?1?n的收敛域及其在收敛域内的和函数；
1(17) （本题满分10分）设f(x)在[0,??)连续，且明：至少????0,???，使得f(?)????。
?01f(x)f(x)dx??，lim?0。证
2x???x 精品.资料
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(18) （本题满分10分）过椭圆3x?2xy?3y?1上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
22?f(x)?ex?x?(19) （本题满分10分）设g(x)??x?ax?b?且f(0)?f?(0)?1。
（I）a、b为何值时g(x)在x?0处连续？ （II）a、b为何值时g(x)在x?0处可导？ (20) （本题满分11分）
x?0x?0，其中f(x)在x?0处二阶可导，
(21)（本题满分11分）设A为三阶方阵，?1,?2,?3为三维线性无关列向量组，且有
A?1??2??3，A?2??1??3，A?3??1??2。求
（I）求A的全部特征值。 （II）A是否可以对角化？
（22）（本题满分11分）设A,B为相互独立的随机事件，已知P(A)?p(0?p?1)，且A
发生B不发生与B发生A不发生的概率相等，记随机变量
?1, 若A发生；?1, 若AB发生；X?? Y??
?0，若A不发生.?0，若AB不发生.（I）求(X,Y)的联合分布律；
（II）在Y?0的条件下，求X的条件分布律； （Ⅲ）计算?XY.
（23）（本题满分11分）设两随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布，其中
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D?{(x,y):x?y?1}，又设U?X?Y，V?X?Y，试求：
（I）U与V的概率密度fU(u)与fV(v)； （II）U与V的协方差cov(U,V)和相关系数?UV
数三参考答案
二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1） A 解：设F(x)?xb?0x0f(t)dt,x?0，则
bab?f(x)dx?a?f(x)dx?F(b)?F(a)??F?(x)dx
0a??[?f(t)dt?xf(x)]dx??[xf(x)??tf?(t)dt?xf(x)]dx
a0a0bxbx??[xf(x)?xf(x)]dx?2?xf(x)dx
aabb所以，M?(2)B
?baba1xf(x)dx?[b?f(x)dx?a?f(x)dx]?N
020解：由于函数可导（除x?0）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。 (3)B 解：因级数
?un?1?n?1000是
?un?1?n删除前1000项而得，故当
?un?1?n收敛时，去掉有限项依然收
敛，因此
?un?1?n?1000收敛，
若limun?1?1，则存在正整数N，使得n?N是，un不变号。若un?0，有正项级数的
n??un比值判别法知
n?N?u?n发散。同理可知，如果un?0，则正项级数
n?N?(?u)发散，因此?unn?N??n发散。故②③正确，选B （4）A
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