四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学文试题（全WORD版）

绵阳市高中2016级第二次诊断性考试 数学（文）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBDAD BAACC CA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

15．x?? 16．43

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

13．2

14．

17．解：（1）∵ 3Sn=4an-4， ①

∴ 当n≥2时，3Sn?1?4an?1?4．② …………………………………………2分 由①?②得3an?4an?4an?1，即an?4an?1(n≥2)． ………………………3分 当n=1时，得3a1?4a1?4，即a1?4．

∴ 数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列． …………………………5分 ∴ 数列{an}的通项公式为an?4n． …………………………………………6分 （2）∵ bn? =

2 5111=

log2an?log2an?1log24n?log24n?11111?(?)． …………………………………8分

2n?(2n?2)4nn?1∴ 数列{bn}的前n项和Tn?b1?b2?b3?????bn

11111111?[(1?)?(?)?(?)?????(?)] 422334nn?1?18．解：（1）x?11n(1?)?．………………………12分 4n?14(n?1)10?9?9.5?10.5?11?10，

578?76?77?79?80 ………………………………2分 ?78．

5 y? ∴

?(x?x)(yii?15i?y)?(10?10)(78?78)?(9?10)(76?78)?(9.5?10)(77?78)

?(10.5?10)(79?78)?(11?10)(80?78)

=5， ………………………………………………………4分

5?(x?x)ii?12?(10?10)2?(9?10)2?(9.5?10)2?(10.5?10)2?(11?10)2?2.5，

??∴ b?(x?x)(yii?15ii?15i?y)?2?(x?x)5?2．……………………………………………7分 2.5??78?2?10?58． ……………………………………………8分 ??y?bx∴ a??2x?58． ………………………………9分 ∴ y关于x的线性回归方程为y??2?8?58?74． （2）当x=8时，y满足|74-73|=1<2，……………………………………………………………10分

??2?8.5?58?75． 当x=8.5时，y满足|75-75|=0<2，……………………………………………………………11分 ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12分 19．解 ：（1）∵ 3AB?AC=b(3c?asinC)，

∴ 3cbcosA=b(3c-asinC)，

即3ccosA=3c-asinC． ……………………………………………………2分 由正弦定理得3sinCcosA=3sinC-sinAsinC，

∵ sinC?0，

∴ 3cosA=3-sinA，即sinA+3cosA=3．……………………………4分 所以

3331?sinA+cosA=，即sin(A+)=．

22223∵ 0

?3?A??3?4?． 3∴ A+

?3=

2??，即A=．……………………………………………………6分 33（2）在△ABC中，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA， 由（1）得A=∵ a=3， ∴ 3=b2+c2-bc， 即3=(b+c)2-3bc. 已知b+c=?3，所以a2=b2+c2-2bccos

?3，即a2=b2+c2-bc. …………8分

335，解得bc=. ………………………………………………10分 24115?53所以△ABC的面积为bcsinA??sin?. …………………………12分

22431620．解：（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).

设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立???y?k?x?2?， 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

22?x?2y?8?0，??8k28k2?8∴ x1+x2=，x1x2=．……………………………………………4分

1?2k21?2k2由弦长公式|AB|=(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?82， 31?k22?代入整理得，解得k2=1. 21?2k3∴k??1． ………………………………………………………………………6分 （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?y?kx?m，联立?2整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 2?x?2y?8?0，2m2?8?4km∴ x1+x2=2，x1x2=． …………………………………………8分

2k2?12k?1以AB为直径的圆过原点O，即OA?OB?0． ………………………………9分 ∴ OA?OB?x1x2+ y1y2=0．

将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． …………………………………………10分

2m2?8?4km将x1+x2=2，x1x2=代入，

2k2?12k?1整理得3m2=8k2+8． …………………………………………………………11分 设点O到直线AB的距离为d，

m28?， 于是d=2k?132

故O到直线AB的距离是定值为d?26． ……………………………12分 321．解：（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞).

11?mx． ?m?xx当m≤0时，f?(x)>0，故f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；………………2分

由已知可得f?(x)?当m>0时，由f?(x)?0，解得0?x?所以函数f(x)在(0，

11；由f?(x)?0，解得x?． mm11)上单调递增，在(，+∞)上单调递减. …………4分 mm综上所述，当m≤0时，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；

当m>0时， 函数f(x)在(0，

函数f(x)在(

1)上单调递增， m1，+∞)上单调递减. ……………5分 m（2）∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点， 显然x=e是其零点，

∴ 函数f(x)=lnx?mx存在两个零点，即lnx?mx?0有两个不等的实数根． 可转化为方程m?lnx在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根， xlnx的图象有两个交点. x即函数y=m的图象与函数h(x)?∵ h?(x)?1?lnx， x2∴ 由h?(x)>0，解得0?x?e，故h(x)在上单调递增；

由h?(x)<0，解得x>e，故h(x)在(e，+∞)上单调递减；

故函数y=m的图象与h(x)?lnx的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上， x即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e． …………7分 令t?x3，则t∈(1，e2]． x1?x3?t?x，lnt?lnx?，11????t?1由?lnx3?mx3， 解得?

tlnt?lnx?mx，?lnx?.311??t?1???(t?1)lnt，t∈(1，e2]． …………………………9分

t?11t?2lnt?(t?1)lntt． 令?(t)?，则??(t)?2(t?1)t?1故ln(x1x3)?lnx1?lnx3?21t2?2t?1(t?1)21??0． 令?(t)?t?2lnt?，则??(t)?1??2?22ttttt所以?(t)在区间(1，e2]上单调递增，即?(t)>?(1)?0． 所以??(t)?0，即?(t)在区间(1，e2]上单调递增，

2(e2?1)即?(t)≤?(e)=2，

e?12所以ln(x1x2)?2(e?1)，即x1x3≤ee2?12(e2?1)e2?122(e2?1)e2?1，

所以x1x3的最大值为e． ………………………………………………12分

22．解：（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为(x?2)2?y2?9，

即x2?y2?4x?5?0． ……………………………………………………… 2分 ∵ x??cos?，y??sin?，

故曲线C的极坐标方程为?2?4?cos??5?0． ………………………4分