圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用 - 图文

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

张生

引例 给定圆(x?a)2?(y?b)2?r2和点P(x0,y0)，证明：

（1）若点P在圆上，则过点P的圆的切线方程为(x20?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r； （2）若点P在圆外，设过点P所作圆的两条切线的切点分别为A,B，则直线AB的方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2。 高考链接

3. (2011江西)若椭圆x2y2122a2?b2?1的焦点在x轴上，过点（1，2）作圆x+y=1的切线，

切点分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 x25?y2【答案】4?1

（2013山东）过点(3,1)作圆

(x?1)2?y2?1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为

A．2x?y?3?0 B．2x?y?3?0 C．4x?y?3?0 D．4x?y?3?0

【答案】A

过点P(3,4)作圆O:x2?y2?1的两条切线，切点分别为A,B，点M(a,b)(a?0,b?0)在直线AB上，则1a?2b的最小值为 。11?46

过椭圆x29?y24?1上点P作圆O:x2?y2?2的两条切线，切点分别为A,B，过A,B的直线l与x轴y轴分别交于点P,Q两点，则?POQ的面积的最小值为 。

23 已知椭圆x2y2222a2?b2?1(a?b?1)，圆O:x?y?b，过椭圆上任一与顶点不重合的点P ）

（

引圆O的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x轴y轴分别交于点M,N，则

a2b2a2?? 。2 22|ON||OM|bx2y2探究1 给定椭圆2?2?1和点P(x0,y0)，证明：

ab（1）若点P在椭圆上，则过点P椭圆的切线方程为

x0xy0y?2?1； 2ab（2）若点P在椭圆外，设过点P所作椭圆的两条切线的切点分别为A,B，则直线AB的方程为

x0xy0y?2?1。 a2bx2y2（2012福建）如图,椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1,右

ab焦点为F2,离心率e?1.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且2?ABF2的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆E的方程.

(Ⅱ)设动直线l:y?kx?m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x?4相较于点

Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,

求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

（2009安徽）点

P(x0,y0)在椭圆

x2y2??1(a?b?0)a2b2上，

x0?acos?,y0?bsin?,0????2.直线l2与直线l1:x0y0x?y?1垂直，O为坐标原a2b2点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?.

x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；

ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列。

（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数

列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

b2x0y0x2y22解：（I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,

ay0abab1b2x0222b2x0b2x?(2?1)?0. 得(2?42)x?2aay0ay0y0?x0?acos?222将?代入上式,得x?2acos??x?acos??0,从而x?acos?. ?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.

y?y0??x0x?y0y?1?b2?a2(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程

cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。

x2y2b2b2（方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?a?x2,y0?a?x02,

abaa椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,

ay0b2x0xxyy切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。

ay0ab因此，l1就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。 探究2

给定抛物线x?2py(p?0)和点P(x0,y0)，证明：

（1）若点P在抛物线上，则过点P椭圆的切线方程为x0x?py?py0?0；

（2）若点P在抛物线外，设过点P所作抛物线的两条切线的切点分别为A,B，则直线AB的方程为x0x?py?py0?0。

链接高考：（2012年高考（辽宁理））已知P,Q为抛物线x?2y上两点,点P,Q的横坐标分别

22为4,?2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________. （2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效) ．．．．．．．．

已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)2?(y?)2?r2(r?0) 有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.

(1)求r;

2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线C的顶点为

212原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为

32.设P为直线l上的2点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由20?c?22?32结合c?0,2解得c?1.

所以抛物线C的方程为x?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?设A?x1,y1?,B?x2,y2?22121x,求导得y??x 42x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2,

22x1x12x1x??y1,即所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222x1x?2y?2y1?0

同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1

联立方程??x0x?2y?2y0?0?x?4y2,消去x整理得y?2y0?x022?2?y?y20?0

由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

222又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

1?9?所以y02?x02?2y0?1?2y02?2y0?5?2?y0???

2?2?所以当y0??

探究3

219时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 22