江苏省高考数学二轮复习微专题3平面向量问题的基底法和坐标法

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”

例1 如图，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，→→→1→→→

动点E和F分别在线段BC和DC上．若BE＝λBC，DF＝DC，则 AE·AF的最小值为

9λ________．

(例1)

π

变式1 在△ABC中，已知AB＝10，AC＝15，∠BAC＝，点M是边AB的中点，

3→→

点N在直线AC上，且AC＝3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为________．

变式2若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．

处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：

切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

→→

1. 设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则AE·AF＝________．

2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，→→→→

若AB·AF＝2，则AE·BF＝________．

→→

3. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE33

＝，则AB的长为________． 32

(第2题) (第3题) (第4题)

4. 如图，在2×4的方格纸中，若a和b是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a＋b与a－b夹角的余弦值是________．

→→→→→→→→

5. 已知向量OA与OB的夹角为60°，且|OA|＝3，|OB|＝2，若OC＝mOA＋nOB，且OC

m→

⊥AB，则实数＝________．

n

6. 已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q→2→1→→

满足AQ＝AP＋AC，则|BQ|的最小值是________．

33

→1→

7. 如图，在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP＝PC，点M，N在过点P

2

→→→→

的直线上，若AM＝λAB，AN＝μAC，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．

(第7题) (第8题) (第9题)

→

8. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE→→

＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．

9. 如图，在直角梯形ABCD中，若AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，

11→→→

动点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．

mn

→→→

10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P为平面ABC上的一点，AP＝λAB＋μAC→→→→

且AP·AB＝0，AP·AC＝3.

→→

(1) 求AB·AC的值； (2) 求λ＋μ的值．