（15）（本题满分10分）求
xx?t?ux?0?xlim?x0x?tetdtx3。
x【解】
?0x?tedt?xt?0uex?udu?e?ux?0ue?udu，
则
x?0?lim?0x?tedtx3t?limex?x?0??x0uedux3?lim?x0ue?udux3x?0?
xe?x2?lim?。 x?0?33x2（16）（本题满分10分）
y3计算积分dxdy，其中D是第一象限中曲线y?x与x轴边界围成的无界区域。 242??D(1?x?y)??xy3y3【解】dxdy??dx?dy 242242??00(1?x?y)D(1?x?y)xx1??y21??y2??dx?d(y)?dx?0(1?x2?y2)2dy 0(1?x2?y4)2202?0???1??111??11(?)dx?(dx?dx) 2222???000441?x1?2x1?x1?2x11???[arctanx|0?42???11?(2x)20d(2x)]?1?1??1(??)?(1?)。 428222（17）（本题满分10分）求limn???nk?1nk2kln(1?)。
n1kk1nkk【解】lim?2ln(1?)?lim?ln(1?)??xln(1?x)dx
0n??n??nnnk?1nk?1nn111211(x2?1)?121??ln(1?x)d(x)?xln(1?x)|0??dx 202201?x?111111111ln2??(x?1?)dx?ln2???ln2?。 2201?x2422411??k在区间(0,1)内有实根，求k的范围。
ln(1?x)xf(x)?11?ln(1?x)x，
（18）（本题满分10分） 已知方程
【解】令
11(1?x)ln2(1?x)?x2f?(x)???2?22(1?x)ln(1?x)xx(1?x)ln2(1?x)令g(x)，
?(1?x)ln2(1?x)?x2，g(0)?0，
g?(x)?ln2(1?x)?2ln(1?x)?2x，g?(0)?0，
g??(x)?由?2ln(1?x)22[ln(1?x)?x]??2??0，
1?x1?x1?x?g?(0)?0,得g?(x)?0（0?x?1）；
???g(x)?0(0?x?1)?g(0)?0,再由?得g(x)?0（0?x?1），
?g(x)?0(0?x?1)?即
， f?(x)?0（0?x?1）
因为
x?0?limf(x)?limx?ln(1?x)11?，f(1)??1，
x?0?xln(1?x)2ln2即
1111?1?f(x)?，故?1?k?。 ln22ln221?(nan?an?1)（n?1,2,3,?n?1（19）（本题满分10分） 若a0数。 （1）证明：
?1,a1?0，an?1），S(x)为幂级数
?an?1?nxn的和函
?an?1?nxn的收敛半径不小于1，并求S(x)。
（2）证明(1?x)S?(x)?xS(x)【证明】（I）由a0由an?1令bn，并求S(x)。 ?0（x?(?1,1)）
?1,a1?0得0?an?1。
?1(nan?an?1)得(n?1)an?1?nan?an?1， n?1?nan，bn?1?bn?an?1?bn，即{bn}单调增加，
n??若{bn}有上界，则limbn?A，
的收敛半径为R?an?1bn?1|?lim?1，幂级数?anxn从而lim|n??n??bann?1n?1；
若{bn}无上界，limbnn?????，
由limbn?1b?an?1a(n?1)an?1a?limn?1?limn?1?lim?limn?1n??bn??n??bn??n??abnnannnn的收敛半径R得
?an?1lim?1，故级数?anxnn??an?1n?1。
（II）S(x)??anxn?1?n，S?(x)??nanxn?1，
n?1?(1?x)S?(x)?(1?x)?nanxn?1?n?1??nanxn?1?n?1??nanxnn?1?
??(n?1)an?1x??nanx??(nan?an?1)x??nanxn
nnnn?2?????n?1n?2n?1??nanx??an?1x??nanx??nanx??an?1x??nanxnnnnnnn?2n?2n?1n?1n?2n?1?????
??an?1x??anxnn?2n?1??n?1?x?anxn?xS(x)，
n?1?即S(x)满足(1?x)S?(x)?xS(x)由(1?x)S?(x)?xS(x)?0。
?0得S?(x)?(?1?1)S(x)?0，解得 x?1S(x)?Ce?(1??1)dxx?1Ce?x?1?xe?x，再由S(0)?1得C?1，故S(x)?。
1?x（20）（本题满分11分）设3阶矩阵且?3A?(?1,?2,?3)有三个不同的特征值，
??1?2?2。
?2
的通解。
（I）证明：r(A)（II）若???1??2??3，求方程组AX??【证明】（I）设因为
A的特征值为?1,?2,?3，
A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
??1?P?1AP?????2???， ?3???2，
因为?1,?2,?3两两不同，所以r(A)又因为?3??1?2?2，所以?1,?2,?3线性相关，从而r(A)?3，于是r(A)?2。
?2，所以AX?O基础解系含一个线性无关的解向量，
（II）因为r(A)??1?2?2??3?0,由?得AX?????????23?1的通解为
?1??1?????X?k?2???1?（k为任意常数）。
??1??1?????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换X?QY下
（21）（本题满分11分）
设二次型
的标准型为?1y122??2y2，求a的值及一个正交矩阵。
1?4??2?x1??????11?，X??x2?，f(x1,x2,x3)?XTAX【解】A??1??41?x?a????3?因为?3，
?0，所以|A|?0。
2由|1?11?41??3(a?2)?0得a?2。 a?14?1??(??3)(??6)?0得?1??3,?2?6,?3?0。
A|?1?4??2由|?E?A|??14??1?1??2?51?4??10?1?????21???011?得 由?3E?A??1??415??000??????1????1??3对应的线性无关的特征向量为?1???1?；
?1????4?14??101?????7?1???010?得 由6E?A???1?4?14??000???????1????2?6对应的线性无关的特征向量为?2??0?；
?1????10?1??1?????由0E?A??01?2?得?3?0对应的线性无关的特征向量为?3??2?。
?1??000?????规范化得
?1???1??1?????111???1???1?，?2??0?，?3??2?，
3??2??6??11?????1??1??3?1故正交矩阵为Q???3??1??3（22）（本题满分11分）
?120121??6?2??。 6?1??6?2??2y,0?y?1,1?，Y的密度为fY(y)?? ??0,其他2??0设随机变量X,Y相互独立，X~?1??2（I）求P{Y（II）求Z?EY}。
?X?Y的概率密度。
12【解】（I）EY??y?2ydy?，
0324P{Y?EY}?P{Y?}??32ydy?。
039（II）FZ(z)当z当z2?P{Z?z}?P{X?Y?z}，
?0时，FZ(z)?0； ?3时，FZ(z)?1；
；
1zz2当0?z?1时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?0}P{Y?z}??2ydy?202当1?当2?z?2时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?0}P{Y?1}?z?3时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?2,Y?z?2}
1； 2
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