?D所在圆外切于点P时，设点M为AB的中?与C②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
?经过圆O时，折叠后的AB?所在圆O′在⊙O上，如图2所示，【答案】解：（1）当AB连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。
∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。
?的长度?∴AB120???2180?4?3。
（2）如图3所示，连接O′A，O′B，
∵O′A=O′B=AB=2， ∴△AOB为等边三角形。
过点O作OE⊥AB于点E，∴O′E=O′A?sin60°=3。
?所在圆的圆心Ｏ’到弦AB的距离为3。 ∴折叠后AB?D所在圆外切于点P时， ?与C（3）①如图4，当折叠后的AB?过点O作EF⊥AB交AB于点H、交AEB于点E，交CD于点G、
?交CFD于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。
∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。 根据垂径定理及折叠，可知PH=
12PE，PG=
12PF。
又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为： d=PH+PG=
12PE+
12PF=
12（PE+PF）=2。
②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：
??设O′，O″为APB和CPD所在圆的圆心，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，
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∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。
??∵折叠后的APB与CPD所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P。
??∵折叠后的APB与CPD所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，∴PM=
12OO″=ON，PN=
12OO′=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形。
【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。
【分析】（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、
?△OBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。
（2）如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边
?所在圆的圆心O′到弦AB的距离。 三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AB???（3）①如图4，AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AEB于点E，
?交CFD于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。
②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得
证。
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