圆心
弧弦 弦心距之间的关系
［知识要点归纳］
1. 2. 3. 4.
圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
图形重合。
们所对应的其余各组量都分别相等。
(1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、
弦心距不一定相等。
如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD，但 AB=CD，而且 AB = CD，弦心
距也不相切。
(2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上
述关系。
下面举四个错例：
c c
若O O中，AC = DB，则 CE = FD , CEA =/DFB
这两个结论都是错误，首先 CE FD不是弦，/ CEA / BFD不是圆心角，就不可以用圆
心角定理推论证明。
(3)同一条弦对应两条弧, 其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的
“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。
(4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，
在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成
们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。
360份，我
一般地，n °的圆心角对着 n°的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防
止出现“ .AOB二AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧 一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
（1） 在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦 的弦心距反而
大，反之弦心距较小时，则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦 心距逐步增大，趋近于半径。
（2） 在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的 圆心角较大，
反之也成立。
注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对 的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。
7. 辅助线方法小结：
（1） 有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关 系定理；另外，
证明两弦相等也常作弦心距。
（2） 在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3） 有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。
【典型例题】
求证: (1) AB= CD
例1.已知：如图，在O O中，弦AB CD的延长线交于 P点，P0平分/ APC
(2) PA= PC 分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角 平分线
P0过圆心，利用弦心距相等可以解决。
证明：（1）过 0点作 OMLAB于 M, ONL CD于 N ?/ P0平分/ APC
??? 0M= ON
??? AB= CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等） 此题还有几种变式图形，道理是一样
的。
弦AB DC的交点在圆上，即 B、P、D三点重合。
若P0平分/ APC求证:
弦AB CD交于P点（P点在圆内）
PO 平分/ APC 求证：AB= CD
D P
y/ |
B
此题还可将题设与结论交换一下，即已知 样，利用弦心距等。
(2)在 Rt △ POM和 Rt △ PON中，
AB= CD,求证：PO平分/ APC证法与上面一
21=N2
丄 OMP =NONP
QP =0P
. POM 二 PON (AAS)
二 PN
1 1
AB, CN CD , AB 二 CD 2 一 AM
.AM
.PM
-CN
AM = PN
CN
即 PA= PC
例2.如图，在O O中, AB= 2CD,那么(
B
c c
A. AB 2CD
c c
C
c
~rF
C. AB =2CD
c
B. AB ：： 2CD
c c
D. AB与2CD的大小关系不可能确定
c
与2CD
的大小，可以用下面两种思路进行:
C
分析：要比较AB
1 C
c c
C
(1)把AB的一半作出来，然后比较 —AB与CD的大小;
2
c
2 CD与AB的大小。 AE 二 EB 1 AB
2
(2 )把2CD作出来，变成一段弧，然后比较 AB
c
= 2CD , AE 二 CD =」AB
2
c
AF 二FB , . AF二FB (等弧对等弦)
解法一：
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