几何综合题（旋转为主的题型）
一、知识梳理
二、教学重、难点
三、作业完成情况
四、典题探究
例1 已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC
和正△BPD，AD和BC交于点M.
（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数； （2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°
时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变
化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.
例2 探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=
1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请2给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..
例3 已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
BBEMADCDEAMC
图1 图2
例4 在ABCD中，?A??DBC，过点D作DE?DF，且EDF??ABD，连接EF，EC，N、P分别为EC，BC的中点，连接NP. （1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及?ABD与?MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.
五、演练方阵
A档（巩固专练）
1．（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE 相交于点P，求证： BE = AD.
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形
ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）
①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.
ECAPADBCDAPBPEFDBCD 图1
图2
F2. 已知：AD?2，BD?4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小.
3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD、BN,CD的延长线交BN于点F． （1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设∠ABC=?，∠CAD =?，试探索?、?满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．
4. 在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
C1AAA1BA1图1CB图2CC1A1AEB图3P1C1PC5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠
MBN=
1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证21∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数2明；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=
量关系？写出你的猜想，并给予证明.
6. 如图，四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正
方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转,正方形ABCD静止不动．
（1）如图1，当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的面积为 __； （2）如图2，当D、D1、A1三点共线时，请直接写出
CD1= _________； DD1（3）在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是
______________,请借助图3证明你的猜想．
B档（提升精练）
1. 如图，△ABC中，∠ACB?90?, AC?2，以AC为边向右侧作等边三角形ACD． （1）如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转60?，得到线段AB1，联结DB1，
则与DB1长度相等的线段为 （直接写出结论）；
（2）如图24-2，若P是线段BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60?得到点Q,求?ADQ的度数； （3）画图并探究：若P是直线BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60?得到点Q,是否存在点P，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请
指出点P的位置，并求出PC的长；若不存在，请说明理由．
2. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边
上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
3. 已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，?AOB??COD?90?．
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，
则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α (0????90?)．连结AD、
BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
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