（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与
△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．
请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
4. 在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将
三角板绕点O旋转． （1）当点O为AC中点时，
①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO?1，
AC4求OE的值． OF
5. 如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF． （1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF－BE．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=
1∠BAD时，EF与21∠BAD时，EF与2DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=
DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．
C档（跨越导练）
1. 已知：正方形ABCD中，?MAN?45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当?M有BM?DN?MN．当?MAN绕点A旋转到BM?DN时，AN 绕
点A旋转到BM?DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当?MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
2. 如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.
（1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一
定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.
3. 问题：如图1， 在Rt△ABC中，?C?90?，?ABC?30?，点D是射线CB上任意一点，
△ADE是等边三角形，且点D在?ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由?BAC的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；
（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与
（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
4. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=?（0???线段BD。
?60?），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含?的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求?的值。
5. 在△ABC中，BA?BC，?BAC??，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2?得到线段PQ。
（1） 若?????且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请
补全图形，并写出?CDB的度数；
（2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想
?CDB的大小（用含?的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的?，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ?QD，请直接写出?的范围。
演练方阵统计
独立完成题号（ ） 部分掌握题号（ ） 有待提高题号（ ） 六、成长足迹
七、课后检测
几何综合题（旋转为主的题型）参考答案
四、典题探究
例1 ⑴ 1，60° ⑵ 不变化.
证明：如图，点E在AP的延长线上，
∠BPE=α<60°. ∵∠BPC=∠CPD+60°, ∠DPA=∠CPD+60°, C ∴∠BPC=∠DPA.
在△BPC和△DPA中， 又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA.
∴∠BCP=∠DAP. ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
A = 120°-∠BCP -∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA =120°-∠PAC
= 60°，且与α的大小无关.
⑶ 不变化，60° 例2 探究：
（1）通过观察可知，EF= BE＋DF.
（2）结论EF= BE＋DF仍然成立（如图2）.
证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到?ABF'， ∴△ADF≌?ABF'，
∴∠1=∠2， AF'=AF，BF'=DF. ∠ABF'=∠D 又∵∠EAF=
M P D E B 1∠BAD，即∠4=∠2+∠3. 2∴∠4=∠1+∠3.
又∵∠ABC＋∠D＝180°，
∴∠ABF'＋∠AB E=180°，即：F'、B 、E共线.
1在△AEF与△AEF中，
（图2）
?AF?AF?,???4??1??3, ?AE?AE?∴△AEF≌△AEF'中，
∴EF=EF'，又EF'=BE＋BF',
即：EF= BE＋DF.
（3）发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BE－DF.
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F'处， 得到△ABF'，如图3所示. ∴△ADF≌△ABF'，
∴∠B AF'=∠DAF ， AF'=AF，BF'=DF. 又∵∠EAF=
1∠BAD，且∠B AF'=∠DAF 2 ∴∠F'AE=∠FA E. 在△F'AE与△FA E中
?AF?AF?,???F?AE??FAE, ?AE?AE?∴△F'AE≌△FA E. ∴EF=EF'，
又∵BE= BF'＋EF'， ∴EF'=BE－BF'.
即EF= BE－DF. （图3）
例3 解：（1）BM=DM且BM⊥DM．
（2）成立．
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD． 易证△EMD≌△CMF．
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）
=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+
∠6 ．
∴∠8=∠BAD．
又AD=CF． ∴△ABD≌△CBF．
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF． ∴∠DBF=∠ABC=90°． ∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．.
例4 解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180?
（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形， A ∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB， ∴∠ABD=∠BDC. ∵ ∠A=∠DBC，
9
D
F
M 1 4 E N P
3 2
B
C
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