我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。
3个附加题综合仿真练(六)
1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答 A．[选修4－1：几何证明选讲]
如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：(1)∠PAC＝∠CAB； (2)AC2＝AP·AB.
证明：(1)因为PC切半圆O于点C，所以∠PCA＝∠CBA. 因为AB为半圆O的直径，所以∠ACB＝90°. 因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°. 因此∠PAC＝∠CAB.
APAC(2)由(1)知，△APC∽△ACB，故AC＝AB， 即AC2＝AP·AB.
B．[选修4－2：矩阵与变换] 0 ?已知矩阵A＝?
?1 (1)求AB；
x2y2
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
82
1?1 ??，B＝?
?0 0?
0?2?
?.
?0 1?，B＝?1
解：(1)因为A＝???
?1 0??0 ?0
所以AB＝?
?1
1??1 0??0 ???＝?0??0 2??1
0?2?
?，
2??. 0?
(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点， 它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)， 0 ?则??1
x＝y，???0x??2y0＝x，?所以? ???＝??，即?x
0??y0??y??y＝.?x0＝y，0?2?2??x0?
2
x0y20因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，
82
y2x2
从而＋＝1，即x2＋y2＝8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8. C．[选修4－4：坐标系与参数方程]
??x＝cos α，
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?(α为参数)．以O为极点，
?y＝sin α－2?知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。
我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝β，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程．
解：圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝1， 设直线l对应的直角坐标方程为y＝kx， 因为圆C与直线l相切， 所以d＝
|2|
＝1，得到k＝±3， 1＋k2π2π
故直线l的极坐标方程θ＝或θ＝.
33D．[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8.
2.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．
(1)求概率P(X＝3)的值；
(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)． 解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有C37＝35种取法．其中X＝3的三角形如△ABF， 这类三角形共有6个． 因此P(X＝3)＝6
. 35
(2)由题意，X的可能取值为3，2，6，23，33. 其中X＝3的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；
其中X＝2的三角形有两类，如△SAD(3个)，△SAB(6个)，共有9个； 其中X＝6的三角形如△SBD，这类三角形共有6个； 其中X＝23的三角形如△CDF，这类三角形共有12个； 其中X＝33的三角形如△BDF，这类三角形共有2个． 因此P(X＝3)＝P(X＝6)＝
69，P(X＝2)＝， 3535
6122，P(X＝23)＝，P(X＝33)＝. 353535
所以随机变量X的概率分布为：
知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。
我们因为拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失去的时候才懂得珍惜。
X P 所求数学期望 E(X)＝3×
3 6 352 9 356 6 3523 12 3533 2 35696122363＋66＋18＋2×＋6×＋23×＋33×＝. 353535353535
11
3．已知数列{an}满足：a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1＝?1＋n2＋n?an＋n. 2??(1)求证：当n≥2时，an≥2；
3
(2)利用“?x＞0，ln(1＋x)＜x”，证明：an＜2e(其中e是自然对数的底数)．
411
1＋?×1＋＝2，故当n＝2时，a2＝2，不等式成立． 证明：(1)①由题意，a2＝??2?2②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即ak≥2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝
?1＋1?a＋1k＞2.
?k?k＋1??k2
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n≥2，an≥2成立.
1?11?1??1＋1＋＋＋(2)当n≥2时，由递推公式及(1)的结论有an＋1＝
?n2＋n?an＋2n≤?n2＋n2n1?an(n≥2)．
两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得 11?11?1＋＋＋1＋ln an＜ln an＋22nln an＋1≤ln＋n＋1， ?n＋n2?n＋n2故ln an＋1－ln an＜
11
＋n＋1(n≥2)， n＋n2
2求和可得ln an－ln a2＜
11??11?111111
－＋－＋＋…＋＋3＋4＋…＋n＝?2?23??34?2×3 3×4?n－1?n22
1
1－n－2211?111113?－＋…＋n－1n＋3·＝－＋2－n<. 12n224??2
1－
2
an33
由(1)知，a2＝2，故有ln＜，即an＜2e(n≥2)，
24433
而a1＝1＜2e，所以对任意正整数n，有an＜2e.
44
知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。
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