第三讲 指数函数
高考要求
要求层次 重点 ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数 难点 ①分数指数幂的概念和运算性质 ②无理指数幂的理解 ③实数指数幂的意义 在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数 ①对于底数a?1与0?a?1时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题 幂的运算 C 指数运算和 指数函数 指数函数的概念 B 指数函数的图象和性质 C ①对于底数a?1与0?a?1时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质
知识精讲
版块一：指数，指数幂的运算
（一）知识内容
1．整数指数
⑴ 正整数指数幂：an?a?a???a，是n个a连乘的缩写（n?N?），an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：a0?1(a?0)，a?n?2．分数指数
⑴ n次方根：如果存在实数x，使得xn?a(a?R,n?1,n?N?)，那么x叫做a的n次方根． ⑵ 求a的n次方根，叫做a开n次方，称做开方运算．
① 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号na表示．
② 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．正数a的正、负n次方根分别表示为：na，?na，可以合并写成?na(a?0)．
1(a?0,n?N?)． na⑶正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．
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负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作n0?0．
⑷式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数（当na有意义时） 3．根式恒等式：
?aa≥0． (na)n?a；当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时，nan?|a|???aa?0?4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：a?naa?(na)m?nam(a?0,n,m?N?,且
mn1n(a?0)
m为即约分数）． n⑵负分数指数幂可定义为：a?mn?1mn(a?0,n,m?N?,且
a5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质：
m为即约分数． n⑴aras?ar?s(a?0,r,s?Q) ⑵(ar)s?ars(a?0,r,s?Q) ⑶(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q)
6．n次方根的定义及性质：n为奇数时，nan?a，n为偶数时，nan?a． 7．分数指数幂与根式的互化：a?a，
nmmn1nam?a?mn（a?0，m,n?N?，且n?1）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：ar?as?ar?s，?ab??ar?br（其中a,b?0，r,s?R）
9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂a?(a?0,?是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当a?0，?为任意实数值时，实数指数幂a?都有意义． 对任意实数?，?，上述有理指数幂的运算法则仍然成立
r版块二：指数函数及其性质
（一）知识内容
1．指数函数：一般地，函数y?ax(a?0，a?1，x?R)叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比
指数的取值 0＜a＜1 a＞1 yy=ax(0
值域 性质 (0,??) ⑴过定点(0,1)，即x?0时，y?1 ⑴在R上是减函数 ⑵在R上是增函数 3．y?ax（a?0且a?1）的图象特征：
a?1时，图象像一撇，过点?0,1?，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）； 0?a?1时，图象像一捺，过点?0,1?，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）；
． y?ax与y?a?x的图象关于y轴对称（如图3）
图1 图2 图3
（二）主要方法：
1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．
版块三：指数函数和其他函数的运算与复合
（一）知识内容：
复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点． 1．和差函数的单调性
两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数f[g(x)]的奇偶性、单调性有如下规律：
值得注意的是，当且仅当外层函数f(u)的定义域与内层函数g(x)的值域的交集非空时才能构成复合函数f[g(x)]，
复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减
f(x) f[g(x)] f(x) f[g(x)] g(x) g(x) 奇 偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 偶 增 减 增 减 增 减 减 增 增 增 减 减 例题精讲
板块一 指数的运算
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41?a2?a2?1?3a(a3?a?3)(a3?a?3)【例1】 化简：⑴4 ⑵
(a?a?4?1)(a?a?1)1?a
2008?2008(n?N?)，那么(1?a2?a)n的值是（ ）
2 A． 2008?1 B． ?2008?1 C． (?1)n2008 D． (?1)n2008?1 【变式】 设 a?1n?1n2008?2008(n?N?)，那么(1?a2?a)n的值是（ ）
2 A． 2008?1 B． ?2008?1 C． (?1)n2008 D． (?1)n2008?1 【例2】 设 a?1n?1n板块二 指数函数与复合函数的性质
【例3】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）
因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复
gx合后得到的，比如下列函数：f?x??2x，g?x??x，h?x??x2，则f?x?，??复合后可得到
xxx函数g??g?x????fx?2，像这样，一个函数的函数值作为另一?f?x????g?2??2和f?个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由f?x?，g?x?进行乘法运算得到
??函数f?x?g?x??x?2x．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．
⑴复合函数fh??g?x???的解析式为 ；其定义域为 ．
⑵可判断f?x?g?x??x?2x是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函
数？若是请证明，若不是，请举一个反例；
【变式】 ⑶已知函数f?x??x?2?x，若f?x?1??f?2x?1?，则x的取值范围为 ．
⑷请用函数f?x??2x，g?x??x，h?x??x2，k?x??lnx中的两个进行复合，得到三个函数，
使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．
22【例4】 已知f(x)?8?2x?x，g(x)?f(2?x)，则g(x)在（ ）
A．(?2,0)上为增函数 B．(0,2)上为增函数 C．(?1,0)上为减函数 D．(0,1)上为减函数 【例5】 （2008年安徽省潜山中学高一第一学期期中考试数学卷）
2已知函数f(x)?1?，g(x)?f(2x)
x?1⑴判断函数g(x)的奇偶性；
0)上为减函数； ⑵用定义证明函数g(x)在(??，⑶求g(x)在(??,?1]上的最小值．
a【变式】 已知函数f(x)?2(ax?a?x)，其中a?0，a?1．
a?1⑴判断函数f(x)的奇偶性；
⑵判断函数f(x)的单调性，并证明．
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