数学试卷
考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相
似三角形的判定推出即可；
（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2积，即可求出答案． 解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE为⊙O的切线， ∴DE⊥DC， ∴∠EDC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDE；
（2）解：∵CF：FB=1：2， ∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x， ∵AE=3EB，
∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=3x，AB=DC=4y， ∵△ADE∽△CDF，
∴∴
==
， ，
=
，
y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面
∵x、y均为正数， ∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°， 由勾股定理得：DF=
=
=2
y，
数学试卷
∴⊙O的面积为π?（DC）=π?DC=π（4y）=4πy，
2
四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y，
22
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy：12y=π：3． 点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考
查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
3. （2019?湖南衡阳,第26题8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．
2222
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断化而变化？如果不变，请求出
的值；反之，请说明理由．
的值是否随着α的变
考点： 旋转的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判
断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点， ∴CD=AD=BD=AB， ∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；
（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°， ∴∠PDM=∠CDN， ∵∠B=60°，BD=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
=为定值．
数学试卷
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
，
∴△DPM∽△DCN， ∴∵∴
=
，
，
．
=tan∠ACD=tan30°
的值不随着α的变化而变化，是定值
点评： 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4. （2019?湖南永州,第21题8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
考点： 相似三角形的判定与性质．. 专题： 计算题． 分析： 由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长． 解答： 解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵AB=6，AD=4， ∴AC===9， 则CD=AC﹣AD=9﹣4=5． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 5. （2019?乐山，第23题10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1． （1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
数学试卷
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 专题： 计算题． 分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长； （2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC=2MN，根据三角形MND与三角形DNC高相等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积求出MND面积，进而求出三角形DCM面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD面积． 解答： 解：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD， ∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△MND∽△CNB， ∴=， ∵M为AD中点， ∴MD=AD=BC，即=， ∴=，即BN=2DN， 设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1， ∴x+1=2（x﹣1）， 解得：x=3， ∴BD=2x=6； （2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2， ∴MN：CN=1：2， ∴S△MND：S△CND=1：4， ∵△DCN的面积为2， ∴△MND面积为， ∴△MCD面积为2.5， ∵S平行四边形ABCD=AD?h，S△MCD=MD?h=AD?h， ∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．（2019?黑龙江哈尔滨,第28题10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD． （1）求证：△ABC为等腰三角形；
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