数学试卷
【答案】⑴30°⑵
3 3【点评】本题考查了同角的余角相等，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15、（2019?宁夏，第26题10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
考点： 相似形综合题 分析： （1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似； （2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值； （3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt222△ABC中，由勾股定理得 BC=AB﹣AC，易求得：BC=AC，则λ=． 数学试卷
解答： 解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有 ∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B ∴△PBQ∽△ABC； （2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5 ∵由（1）知，△PBQ∽△ABC， ∴∴S△APQ===∴当 时，△APQ的面积最大，最大值是； ，即 （3）存在． ∵Rt△AQP≌Rt△ACP ∴AQ=AC 又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB ∴AQ=QB=AC 222在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC=AB﹣AC ∴BC=AC ∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等． 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点．难度较大．注意，在证明三角形相似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边．
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