影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率． （Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=
，则ξk服从两点分
布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部， 第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为： P（A）=
=0.025．
（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：200×0.25=50部， 第五类获得好评的有：800×0.2=160部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率： P（B）=
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下： ξk=
，
=0.35．
则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：
ξ1 P
E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，
D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24． 第二类电影：
ξ2 P
E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，
1 0.2
0 0.8
1 0.4
0 0.6
D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第三类电影：
ξ3 P
E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，
D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275． 第四类电影：
ξ4 P
E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，
D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875． 第五类电影：
ξ5 P
E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第六类电影：
ξ6 P
E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，
D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（13.00分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（1）=0，解方程可得a的值；
1 0.1
0 0.9
1 0.2
0 0.8
1 0.25
0 0.75
1 0.15
0 0.85
（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=，a＞，0＜a＜，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为 f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， 可得（a﹣2a﹣1+2）e=0， 解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex， 若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减． x=2处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（x）在x=2处取得极小值；
若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
19．（14.00分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，
=λ
，
=μ
，求证：
+
为定值．
【分析】（Ⅰ）将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM，μ=1﹣yN，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点 P（1，2），∴4=2p，解得p=2， 设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1， 设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程组可得
，
+
为定值．
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1， 且k≠0，x1+x2=﹣
，x1x2=
，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN）， 则因为
=（0，yM﹣1），=λ
=（0，﹣1）
，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，
（x﹣1）=
（x﹣1）=
（x﹣1），
直线PA的方程为y﹣2=
令x=0，得yM=，同理可得yN=，
因为+=+=+===
===2，
∴+=2，∴+为定值．
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