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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题181word版 doc

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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(181)(无答案)

第一试

一、填空题(每小题8分,共64分)

1. 在金属丝制作的3?4?7的长方体框架中放置一个球,则该球的半径的最大值为. 2. 双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2,一条过F2的直线与双曲线的右支交于

A、B两点.若?F1AB为正三角形,则双曲线的离心率为.

3. 已知正实数a、b、c满足a?b?c?1.则a?b?c的最大值为.

4. 从九名同学中先出五名组成班选会,要求甲、乙两人要么同时入选,要么同时不入选,丙、丁两人不同时入选.则符合要求的选法共有种(用数字作答). 5. 在等腰?ABC中,已知AC?BC?5,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,

uuuruuur25uuuruuur且AD?DB?EF?1.若DEgDF?,则EFgBA的取值范围是.

1636. 圆周上每个点均被染为红、黄、蓝三色之一,并且三种颜色的点均出现.现从圆周上任取n个点.若其中总存在三个点构成三个顶点同色的钝角三角形,则n的最小可能值为.

7. 已知?、???0,??.则?sin??sin(???)?sin?的最大值为.

?12na?n?ax8. 设.若,则n的取值集合为. ?n?1n231?x?x?xi?o

二、解答题(共56分)

9.(16分)求函数f(x)?2x2?x4x2?3的值域.

- 1 -

10.(20分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,以P为圆心的圆与双曲线xy?1交于点A、B、C、D.记线段AB、CD的中点分别为E、F.证明:四边形OEPF为平行四边形.

11. (20分)已知数列?an?满足a1?0,并且对任意的n???,an?1取an?1或an?1的

1概率均为.

2(1)设a2n?1的值为随机变量X,试求X的概率分布; (2)求X的绝对值的数学期望EX.

- 2 -

加 试

一、(40分)如图2,在?ABC中,AB?AC,圆?是?ABC的外接圆,圆?1过点圆?2过点C且与AB切于点A,圆?1与圆?2交于A、D两点,B且与AC切于点A,

射线BD与圆?2交于点E,射线CD与圆?1交于点F(点E、F均不与D重合),直线BF与CE交于点P.证明:?BAP??CAD.

- 3 -

二、(40分)设c1,c2,L为正整数数列,且对任意满足1?m??ci的正整数m、n,存

i?1n在正整数a1,a2,L,an,使得m??i?1nci.试对每一个固定的i(i?Z?),求ci的最大值. ai

??n????n,其中,?x?表示三、(50分)证明:存在无穷多个正整数n,使得??n???????5????- 4 -

不超过实数x的最大整数.

四、(50分)已知有n(n?4)支足球队参加单循环赛,每两队赛一场,每场胜方得3分,负方得0分,平局各得1分.所有比赛结束后发现,各队的总分构成公差为1的等差

- 5 -

数列,求最后一名得分的最大值.

- 6 -

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