20．（12分）
已知函数f?x??lnx?x?1x?1.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y?ex的切线. 21．（12分）
B(2,0)，已知点A(?2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连
结QE并延长交C于点G.
（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点
12.记M的轨迹为
A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
（1）当?0=?时，求?0及l的极坐标方程； 3（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)?|x?a|x?|x?2|(x?a). （1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若x?(??,1]时，f(x)?0，求a的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 6．C
2．C 7．B
3．C 8．D
4．D 9．A
5．A 10．B
11．A 12．B 13．0.98 15．63
14．–3
16．26；2?1
17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．
uuuruuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系D-xyz，
uuuuruuurC1（0，CE?(1,?1,1)，则C（0，1，0），B（1，1，0），1，2），E（1，0，1），CC1?(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
??CB?n?0,?x?0,即? r?uuux?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
??CC1?m?0,?2z?0,即? r?uuu??x?y?z?0.?CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．
|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为
18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得
分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?1(an?bn)． 2又因为a1+b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公比为由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8， 即an?1?bn?1?an?bn?2．
1的等比数列． 2又因为a1–b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，an?bn?1，an?bn?2n?1． n?12所以an?111[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?， 222111bn?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?．
22220．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
e?1e2?1e2?32?0，f(e)?2?2因为f（e）=1???0， e?1e?1e2?1所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又0?x?111??f(x1)?0， ?1，f()??lnx1?1x1x1?1x11故f（x）在（0，1）有唯一零点．
x1综上，f（x）有且仅有两个零点．
11?lnx0?e（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上． x0x0由题设知f(x0)?0，即lnx0?x0?1， x0?111x0?1?lnx0?x0xx0?11?0?． 故直线AB的斜率k??lnx0?x0?x0?1?xx00x0?1曲线y=ex在点B(?lnx0,11)处切线的斜率是，曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处切x0x01线的斜率也是，
x0所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线．
x2y2yy1?1(|x|?2)，所以C为中心在21．解：（1）由题设得???，化简得?42x?2x?22坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
?y?kx2?由?x2y2得x??．
2?11?2k???42记u?21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．
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