新编人教版精品教学资料
1.2.1函数的概念
一、教材分析
1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用 ，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、三维目标 1﹑知识与技能：
（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；
（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域． 2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基
础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法．
3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性． 三、教学重点
理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 四、教学难点
符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 五、教学策略
１．通过大量的实例让学生体会了解函数的概念．
２．通过比喻的方式人学生理解函数的概念，符号“y=f(x)”的含义． 六、教学准备
教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率． 七、教学环节 1、 课堂导入
复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y是x的函数. 学过的函数：
正比例函数：y?kx常数k?0 一次函数：y?kx?b常数k?0 反比例函数：y?????k常数k?0? 二次函数：y?ax2?bx?c?常数a?0? ?x2、 课堂讲授
⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： 思考：（课本P15）给出三个实例：
A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）
与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2．
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空
臭氧层空洞面积的变化情况．
C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的
高低．“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表．
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着
怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对
应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：
f:A?B
⑵函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：
y?f(x),x?A
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与的x值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。 注意：1.对符号“”的理y?f(x)解：
①“”是函y?f(x)数符号，可以用任意字母表示，如y?g(x),y?F(x)等． ②f(x)的含义：f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x，比如有一个人我们如果认识他就说张三，李四，不认识他可以说人M1,M2，函数也是一样，如果知道一个函数就表示为
y?2x?1,y?x2，如果不知道就说函数y=f(x)，y?g(x),y?F(x)等．
③f(x)与f(a)的区别与联系：一般而言，f(a)表示当x?a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．
④符号f:A?B表示从集合A到集合B的一个函数，f是对应关系，在不同的问题中，其含义是不同的，它可以是一个或几个解析式，可以是图象﹑表格，也可以是文字描述． 2．对函数概念的理解：
①集合A、B必须是非空的数集．
②A中的任意一个数x，都能在在集合B中找到唯一确定的数与它对应． ③函数的定义域是集合A，值域是集合B．
④函数是一种对应，是一对一或多对一，一对多的对应不是函数关系．
⑤打个比方，函数就像一个加工厂，函数的定义域就是原料，值域就是产品，对应关系就是加工方法，原料是苹果，加工方法是榨汁，产品就是苹果汁，加工方法是做罐头，产品就是
苹果罐头，原料是桃子，加工方法是榨汁，则产品就是桃汁．对应关系f就是把自变量x怎样“加工”，比如y?2x?1，对应关系就是把x先乘以2再加1，y?x2就是把x平方． ⑶我们学过函数的定义域﹑值域：
①一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；
2 ②二次函数y?ax (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域?bx?c??4ac?b2?4ac?b2?????B??yy??；当a﹤0时，值域B??yy??。
4a?4a???????k③ 反比例函数y?(k?0)的定义域是?xx?0?，值域是?yy?0?。
x⑷区间及写法：
设a、b是两个实数，且a （1） 满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）； （3） 满足不等式a?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ?a,b?,?a,b?； 这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格） 符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别表示为?a,???,?a,???, ???,b?,???,b?。 巩固练习： 用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正） ⑸例题讲解：例１．已知函数f(x)?（1） 求f(?3),f(),fx?3?1， x?223?f??3??的值； （2） 当a>0时，求f(a),f(a?1)的值。 分析： (1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使x?3和 1有意义的自变量的取值范围;x?3有意义,则x+3≥0, x?21有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. x?222(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f() 33222表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的 333值. (3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值. 解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足?即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=-3?3+ ?x?3?0,解得-3≤x<-2或x>-2, ?x?2?0.1=-1; ?3?2f( 221333)==?. ?3?23382?23(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义. 1; a?211f(a-1)=a-1?3?=a?2?. a?1?2a?1则f(a)=a?3+ 1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域⑹相等函数：○ 和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数○值的字母无关。 例２．下列函数中哪个与函数 y?x相等？ ⑴y?(x)2 ⑵y?23x3 x2⑶y?x ⑷y? x解：⑴y?(x)2（x?0）与函数y?x（x?R）定义域不同，所以两个函数不相等． ⑵y?3x3（x?R）与y?x（x?R）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所 以两个函数相等． ⑶y?x2（x?R）与函数y?x（x?R）定义域相同，但是对应关系不同，所以 两个函数不相等． x2⑷y?定义域是{x|x≠0}，与函数y?x（x?R）定义域不同，所以两个函数不相 x等． (x?1)2?1?x的定义域. 课堂练习1.求函数y= x?1答案：{x|x≤1,且x≠-1}.
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