（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．
【解答】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得因此
．
，
，
所以tan（α+β）=；
（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，
又
所以由tan（α+2β）=﹣1得
，故
．
，
【点评】本题主要考查正切的和角公式与转化思想． 16．（15分）（2008?江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证： （1）直线EF∥面ACD； （2）平面EFC⊥面BCD．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件；
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，满足定理所需条件． 【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点． ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD；
9
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC， ∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD
【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力． 17．（15分）（2008?江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数； （Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．
【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）（i）取AB中点Q，根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式． （2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合． 【解答】解：（Ⅰ）①取AB中点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则所以
所求函数关系式为
，故，又OP=10﹣10tanθ，
，
②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
10
令y′=0得sin当
，因为，所以θ=，
时，y′＞0，y是θ
时，y′＜0，y是θ的减函数；当
时，km处．
的增函数，所以当θ=区域内且距离AB边
．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形
【点评】本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
18．（15分）（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C． （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论． 【考点】二次函数的图象；圆的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围； （2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
22
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x0+y0+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，
22
因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x0+y0+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标． 【解答】解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
2
令f（x）=x+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
22
（2）设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0
22
令y=0得x+Dx+F=0这与x+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
2
令x=0得y+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．
22
所以圆C的方程为x+y+2x﹣（b+1）y+b=0． （3）圆C必过定点，证明如下：
2
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
22
并变形为x0+y0+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）
22
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x0+y0+2x0﹣y0=0，解得
经检验知，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．
11
【点评】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．
19．（15分）（2008?江苏）（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当n=4时，求
的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
【考点】等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质． 【专题】探究型；分类讨论；反证法． 【分析】（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况． （2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可． 【解答】解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．
若删去a2，则a3=a1?a4，即（a1+2d）=a1?（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a2=a1?a4，即（a1+d）=a1?（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得
或
．
2
2
22
②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．
2
若删去a3，则a1?a5=a2?a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）?（a1+3d）化简得3d=0，因为d≠0，所以a3不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an中，由于不能删去首项或末项，
若删去a2，则必有a1?an=a3?an﹣2，这与d≠0矛盾； 同样若删去an﹣1也有a1?an=a3?an﹣2，这与d≠0矛盾；
若删去a3，…，an﹣2中任意一个，则必有a1?an=a2?an﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，n=4．
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，
22
by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则by+1=bx+1?bz+1，即（b1+yd）=
22
（b1+xd）?（b1+zd），化简得（y﹣xz）d=（x+z﹣2y）b1d（*）
2
由b1d≠0知，y﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0
2
当y﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾． 故y﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得
2
因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．
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