所以，而 所以，
， ，
【点评】本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数于它们的几何平均数
．
大于或等
25．（2008?江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记
．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于
，即
的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可 【解答】解：由题设可知，以
、
、
为单位正交基底，
，再将用关于λ
建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1） 由
，得
，所以
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于
，则等价于
2
即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是
17
【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题． 26．（2008?江苏）请先阅读： 在等式cos2x=2cosx﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cosx﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）?2=4cosx?（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx?sinx．
n0122nn
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx（x∈R，正整数n≥2），证明：
（2）对于正整数n≥3，求证： （i）
；
．
2
2
（ii）；
（iii）．
【考点】微积分基本定理；二项式定理；类比推理． 【专题】证明题；综合题；压轴题． 【分析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式． （2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证． （iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
【解答】证明：（1）在等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx两边对x求导得n（1+x）﹣112n﹣1n﹣2nn﹣1=Cn+2Cnx+…+（n﹣1）Cnx+nCnx 移项得
（*）
n0122nnn
（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得
18
所以
n﹣1
1
2
n﹣1n﹣2
nn﹣1
（ii）由（1）知n（1+x）=Cn+2Cnx+…+（n﹣1）Cnx+nCnx，n≥3
n﹣223nn﹣2
两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）=2Cn+3?2Cnx+…+n（n﹣1）Cnx
232n﹣2
在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn+3?2Cn（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn（﹣1） 即
，
亦即（1）
又由（i）知（2）
由（1）+（2）得
n
0
1
22
nn
（iii）将等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx两边在[0，1]上对x积分
由微积分基本定理，得
所以
【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
19
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