边相等.
因此这两个三角形全等.
总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.
(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.
类型二、相似三角形的判定 2．如图所示，已知
中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交
于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
思路点拨：由
可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. ∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比
；
当△CDF∽△AED时，相似比
.
；当△BEF∽△AED时，相似比
总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°. 由勾股定理得
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°. 由勾股定理，得 在△ABC和△EDF中， ∴
，
，
. ，
，
.
∴ △ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).
总结升华：
(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相
似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.
(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.
4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC. 条件一：∠1=∠B. 条件二：∠2=∠ACB. 条件三：
，即
.
总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：
.不符合条件“最小化”原则，因为
条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的.
举一反三 中，P是BC上的点，且 求证：△ADQ
【变式1】已知：如图正方形ABCDBP=3PC，Q是CD的中点． ∽△QCP．
思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下： 证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴ ∵
=3，∴
=4
=2
=
，∠C=∠D=90°，
=2
又∵BC=2DQ，∴
在△ADQ和△QCP中， ∴△ADQ∽△QCP．
【变式2】如图，弦
.
和弦
相交于内一点，求证：
相关推荐：
loading