黄 金 考 点
【分析】（2）结论：
HA1．想办法证明PA4=A4+PH=PA2+
是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接PA1，同法可证：PA3=PA1+
PA2，推出（
+1）
（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（（3）结论：则
=
﹣1）（PA3+PA4），延长即可解决问题；
．如图3﹣1中，延长PA1到
H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=
PA4，即PA1+PA2=
PA4，如图3﹣2
中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=
PA4，即PA5+PA3=
PA4，延长即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形， ∴∠A3A1A2=60°， ∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P， ∴△A1A3P≌△A1A2M ∴PA3=MA2， ∵PM=PA1，
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1． ∴
，是定值．
（2）结论：是定值．
黄 金 考 点
理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．
∵四边形A1A2A3A4是正方形， ∴A4A1=A2A1，
∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P， ∴△A1A4H=△A1A2P，
∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P， ∴∠HA1P=∠A4A1A2=90° ∴△HA1P的等腰直角三角形， ∴PA4=A4+PH=PA2+同法可证：PA3=PA1+∴（
PA1， PA2，
+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，
﹣1）（PA3+PA4），
=
．
∴PA1+PA2=（∴
（3）结论：则=．
理由：如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．
由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形， ∴PH=
PA4，即PA1+PA2=
PA4，
黄 金 考 点
如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．
同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形， ∴PH=∴
PA4，即PA5+PA3=
=
PA4，
．
故答案为．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等正整数，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（12分）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
．
黄 金 考 点
【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，易得OA=为等腰直角三角形，所以OD=
，∠DOA=45°，则可判断△AOD
OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线
得C（5，﹣3），然后利用三
AD的解析式为y=﹣x+2，再解方程组
角形面积公式，利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算； （3）如图2，作MH⊥x轴于H，AC=4
，OA=
，设M（x，﹣x2+x）（x＞
=
时，△OHM∽△
0），根据三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当
OAC，即=；当=时，△OHM∽△CAO，即=，
则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M点能以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）， 把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）， 即y=﹣x2+x；
（2）延长CA交y轴于D，如图1， ∵A（1，1）， ∴OA=
，∠DOA=45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
黄 金 考 点
∵OA⊥AC， ∴OD=
OA=2，
∴D（0，2），
易得直线AD的解析式为y=﹣x+2， 解方程组
∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4； （3）存在．
如图2，作MH⊥x轴于H，AC=设M（x，﹣x2+x）（x＞0）， ∵∠OHM=∠OAC， ∴当
=
时，△OHM∽△OAC，即
=
，
（舍去），
，此时M点坐标为（
，﹣54）；
=4
，OA=
，
得
或
，则C（5，﹣3），
解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=
当=时，△OHM∽△CAO，即=，
，此时M点的坐标为（，此时M点坐标为（
，，﹣
）， ）；
解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM， ∴∠OMN=90°， ∴∠MON=∠HOM， ∴△OMH∽△ONM， ∴当M点的坐标为（
，﹣54）或（
，
）或（，﹣）时，以点O，
M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．
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