黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷含解析

【分析】

（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得a，b，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简

uuuruuuruuuur(FP?FQ)?MN，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.

【详解】

（1）因为直线3x?y?3?0过椭圆C的右焦点F,所以F(1,0)?c?1，

1c1x2y2因为离心率为，所以??a?2,b?3???1，

2a243（2）A(2,0)，设直线m:x=ty+1，M(x1,y1)N(x2,y2) 则AM:y?y12y1(x?2)?P(4,) x1?2x1?2AN:y?y22y2(x?2)?Q(4,) x2?2x2?2uuuruuuruuuur2y12y2?)?(x2?x1,y2?y1) 因此(FP?FQ)?MN?(3?3,x1?2x2?2?6(x2?x1)?(y2?y1)(2y12y2?) x1?2x2?2?(y2?y1)[6t?(2y12y24tyy?2(y2?y1)?)]?(y2?y1)[6t?212] ty1?1ty2?1ty1y2?t(y2?y1)?1x2y2由x=ty+1，+=1得(3t2?4)y2?6ty?9?0，

43?6t?9,yy?， 123t2?43t2?4?36t12t?24t?2224ty1y2?2(y2?y1)3t?43t?43t?4??6t ??因此2224?9t6tty1y2?t(y2?y1)?1??13t2?43t2?43t2?4uuuruuuruuuur即(FP?FQ)?MN?0.

所以y1?y2?【点睛】

本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.

23．已知a,b,c分别是?ABC内角A,B,C的对边，满足cosC?(cosA?3sinA)cosB?0 （1）求内角B的大小

（2）已知a?c，设点O是?ABC外一点，且OA?2OB?4，求平面四边形OACB面积的最大值. 【答案】（1）B??3（2）53?8

【解析】 【分析】

（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sinA(sinB?3cosB)?0，再由同角三角三角的基本关系得到tanB，即可求出角B；

（2）由（1）知，?ABC是正三角形，设?AOB????0,??，由余弦定理可得：AB2?16?4?16cos?，则S?ABC?1?1AB2sin，S?AOB??4?2sin?得到S四边形OACB?53?4sin??3cos?，再利用辅232??助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】

解：（1）由cosC?(cosA?3sinA)cosB?0，

??cos(A?B)?(cosA?3sinA)cosB?0，

??cosAcosB?sinAsinB?(cosA?3sinA)cosB?0， ?sinA(sinB?3cosB)?0，

QsinA?0，

?tanB?3，

QB??0,??， ?B??3；

（2）由（1）知，?ABC是正三角形，设?AOB????0,??， 由余弦定理得：AB2?16?4?16cos?，

1?AB2sin?53?43cos? 231?QS?AOB??4?2sin??4sin?，?S四边形OACB?53?4sin??3cos??53?8sin(??)，

235?所以当??时有最大值53?8

6?S?ABC???

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.