中考必会的几何模型：圆中的辅助线

圆中的辅助线

模型1 连半径构造等腰三角形

已知AB是⊙O的一条弦,连接OA,OB,则∠A＝∠B．

OA模型分析

在圆的相关题目中,不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形, 利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理,解决角度的计算问题

模型实例

如图,CD是⊙O的直径,∠EOD＝84°,AE交⊙O于点B,且AB＝OC,求∠A．

B

EBACODABCOED

解答：如图,连接OB,∵AB＝OC,OC＝OB,∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A． ∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE,得∠E＝∠EBO＝2∠A．

1．如图,AB经过⊙O的圆心,点B在⊙O上,若AD＝OB,且∠B＝54°．试求∠A的度数． C

D

A B

O

解答：如图,连接OC、OD．∵∠B＝54°,OC＝OB,∴∠AOC＝2∠B＝108°．

又∵AD＝OB＝OD,∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD, ∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A．

∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°． ∴∠A＝24°．

2．如图,AB是⊙O的直径,弦PQ交AB于M,且PM＝MO,求证：则AP＝

1BQ． 3

Q A P M O

B

证明：如图,连接OP、OQ． ∵PM＝OM,

∴∠P＝∠MOP． ∵OP＝OQ, ∴∠P＝∠Q．

∵∠QMO＝2∠MOP, ∴∠BOQ＝3∠MOP． ∴∠AOP＝∴AP＝

1∠BOQ． 31BQ． 3

模型2 构造直角三角形

如图①,已知AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,连接AC、BC,则∠ACB=90.

C BA O

①图

222

如图②,已知AB是⊙O的一条弦,过点O作OE⊥AB,则OE+AE=OA.

o

OAEB图②模型分析

(1) 如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关

o

问题中注意90的圆周角的构造. (2)如图②,在解决求弦长、弦心距、半径问题时,在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线,利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形,再利用勾股定理进行计算.

模型实例

例1 已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,BE=6,∠DEB=60.求CD的长.

D D

F

A B EBE O Ao

OC

C 解答:

如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ,连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ,ＡＥ＝２,ＥＢ＝６,

1∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝2ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２ 在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60o,OE=2,∴EF=1,OF=3. 2222224?DF?(3)OD?DF?OF在Rt△ODF中,,∴.∴DF?13.

∵OF⊥CD,∴CD=2DF=213 例2

如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45o. (1)求∠EBC的度数;

A (2)求证:BD=CD.

O

E C B D