高考模拟数学试卷
考试时间：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U?R,集合A??x|y?log3(x?1)?,B?y|y?2x,则(CUA)?B?( )
A． B．(0,1] C．(1,??) D．(1,2) （0，+?）2．复数z?(3?i)i?i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为( )
A．2?i B．2?i C．4?i D．4?i
3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为
2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( ) A．2??24 C．??24 4．下列四个结论：
①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p” ．
B．2??20 D．??20
5??rrrrrrrra,b②设是两个非零向量，则“a//b”是“a?b?a?b”成立的充分不必要条件．
③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．
^
④设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为y＝0.85x－85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg． 其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
rrrrrrrrrr5．已知向量a??1,2?，b??2,?3?．若向量c满足?c?a?//b，c?a?b，则c?（ ）.
??A．(,) B．(?,?) C．(,) D．(?,?)
ππ
6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )
22
ππππ
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
36637．若数列?an?满足
77937379773979731p??0，n?N*,p为非零常数，则称数列?an?为“梦想数列”．已知正项数an?1an?1?99列??为“梦想数列”，且b1b2b3Lb99?2，则b8?b92的最小值是( ) ?bn?A．2
B．4
C．6
D．8
?y?5?8．若实数x、y满足不等式组?2x?y?3?0. 则z?|x|?2y的最大值是( )
?x?y?1?0?A．10 B．11 C．13 D．14
x2y2xy9．已知双曲线2?2?1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线??1截
abab得的弦长为6a，则双曲线的离心率为( )
A．3 B．2 C．3 D．2 10．已知y?f(x)为R上的连续函数，其导数为f'(x)，当x?0时，f'(x)??f(x)，则关于x的函数xg(x)?f(x)?1的零点个数为( ) xA．0 B．1 C．2 D．0或2
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 .
i?1 s?0 s?s?1i是开始1??12．设 n??210sinxdx，则 ?x?3?展开式中的常数项为 .
0x??（用数字作答）
13．关于圆周率?，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲
丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计
?ni ?i?1s?9?4否?的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，
y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计?的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计
输出s结束
?? .（用分数表示）
三角形数：
14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的
13610
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2014是数列?an?中的第 项；（Ⅱ） b2n?1= ．（用n表示）
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）
15．（选修4?1：几何证明选讲）
如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分?PBC，交圆O于D，
C,D,P共线．若AB?BD,PC?PB,PD?1，则圆O的半径是 .
16．（选修4?4：坐标系与参数方程）
1?x?t???t在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是?，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
1?y?t??t??坐标系，曲线C2的极坐标方程是?sin(??)?1，则两曲线交点间的距离是 .
3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
b2?a2?c2cos(A?C)?17．（本小题满分12分）在锐角?ABC中，．
acsinAcosA（I）求角A；（Ⅱ）若a?
18．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，首项a1?1，且对于任意n?N?都有nan?1?2Sn．
（I）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?
19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入
下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。 （I）求该同学被淘汰的概率；
（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为?，求随机变量?的分布列与数学期望．
2，求bc的取值范围．
54an?1bn，且数列的前项之和为，求证：． TT???nnn22anan?24432555
20．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB?2,AD?1,M为DC的中点.将?ADM沿
AM折起，使得平面ADM?平面ABCM.
（Ⅰ）求证：AD?BM；
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E?AM?D的余弦值为
5． 5x2y23221．x轴被曲线C2:y?x?b（本小题满分13分）如图，椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，
ab2截得的线段长等于C1的长半轴长。（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA，MB分别与C1相交与D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问：是否存在直线l，使得
S117??请说明理由． S232
22．（本小题满分14分）设函数f?x???1?ax?ln?x?1??bx，其中a和b是实数，曲线y?f?x?恒与x轴相切于坐标原点．
?1?求常数b的值；
?2?当0?x?1时，关于x的不等式f?x??0恒成立，求实数a的取值范围；
10001??3?求证：????10000?
10000.4?1001??e????1000?1000.5．
1.B 2.A 3.C4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A 11. 137/60 12.210 13.47/15 14. 5035, 17. （1）由a?c?b?2accosB?2225n?5n?1? 15. 2 16. 43 2?2accosBcos(??B) ?acsinAcosA?sin2A?1且0?A??2?A??4……………4分
?B?C?135?bca（2）?又???0??B?90??45??C?90?sinBsinCsinA?2?b?2sinB?0??C?90??,c?2sinC
bc?2sin(135??C)?2sinC?2sin(2C?45?)?2……………8分 45??2C?45??135??2?sin(2c?45?)?1?bc?(22,2?2]……………12分 218.解：（1）解法一：由nan?1?2Sn①可得当n?2时，(n?1)an?2Sn?1②， 由①-②可得，nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1)?2an，所以nan?1?(n?1)an， 即当n?2时，
an?1n?1aa3a4a5n?，所以3?,4?,5?,??,n?，将上面各式两边分别相anna22a33a44an?1n?1乘得，
annn?，即an??a2（n?3），又a2?2S1?2a1?2，所以an?n（n?3），此结果也满a222足a1,a2，故an?n对任意n?N?都成立。……………7分
解法二：由nan?1?2Sn及an?1?Sn?1?Sn可得nSn?1?(n?2)Sn，即
Sn?1n?2?， Snn?当n?2时，Sn?S1?SS2S3345n?1n(n?1)?????n?1??????? S1S2Sn?1123n?12n(n?1)， 2（此式也适合S1），?对任意正整数n均有Sn?，故an?n。……………7分 ?当n?2时，an?Sn?Sn?1?n（此式也适合a1）
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