1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(x?3)nn(1)求幂级数?的收敛域. n3n?1?(2)设f(x)?e,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.
222(3)设?为曲面x?y?z?1的外侧,计算曲面积分
333I?òxdydz?ydzdx?zdxdy. ???x2二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
12txf(t)?limt(1?),则f?(t)= _____________. (1)若x??x(2)设f(x)连续且
?x3?10f(t)dt?x,则
f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为
?1?x?0f(x)? 2,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处
x0?x?12收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x0)?,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 (A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小
(C)比?x低阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小 (2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且
12f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处
(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少
(3)设空间区域
?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
?1?2 (B)???ydv?4???ydv
?1?2(C)
???zdv?4???zdv
?1?2?2
(D)???xyzdv?4???xyzdv
?1na(x?1)(4)设幂级数?n在x??1处收敛,则此级数在
n?1?x?2处
(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组α1,α2,L是
(A)存在一组不全为零的数k1,k2,L,αs(3?s?n)线性无关的充要条件
,ks,使
k1α1?k2α2?L?ksαs?0
(B)α1,α2,L,αs中任意两个向量均线性无关 (C)α1,α2,L,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,L,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分6分)
xy设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求
yx?2u?2ux2?y. ?x?x?y五、(本题满分8分)
x设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2e,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x). 六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为
Ak(k?0为常数,r为2r质点与M之间的距离),质点M沿直线y?2x?x2自B(2,0)运动到
O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
七、（本题满分6分）
?100??100??,P??2?10?,求A,A5. 已知AP?BP,其中B??000???????00?1???211??八、（本题满分8分）
?200??200??与B??0y0?相似. 001已知矩阵A?????????01x???00?1??(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P. 九、（本题满分9分）
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在
(a,b)内存在唯一的
?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围
平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,则事件A在一次试验中出现的概率是
27____________.
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于6”的概
5率为____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为的正态分布,已知 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1,求随机变量2?(1?x)Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
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