内蒙古赤峰二中2020届高三数学最后一模试题 理

,?是圆M：?x?1??y2?16内一个定点， 如图，N?102P是圆上任意一点．线段NP的垂直平分线和半径MP相交

于点Q．

（1）当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；

,?作直线l与曲线E交于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，（2）过点G?01求△ABD的面积S的最大值．

21．（本小题满分12分） 已知函数u(x)?a?lnx(a?R). x（Ⅰ）若曲线u(x)与直线y?0相切，求a的值. （Ⅱ）若e?1?a?2e,设f(x)?|u(x)|?lnx,求证：f(x)有两个不同的零点x1,x2，且 xx2?x1?e.（e为自然对数的底数）

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程

?x??1?cost在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为?（t为参数），圆C2与圆C1外切

y?sint?于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|?3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C1和圆C2的极坐标方程；

（2）过点O的直线l1、l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C1异于点O的交点分别为点C和点B，且l1?l2.求四边形ABCD面积的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数f(x)?x(x?R).

（Ⅰ）求不等式f(x?1)?f(x?1)?4的解集M; （Ⅱ）若a,b?M,证明:2f(a?b)?f(ab)?4.

赤峰二中2020级高三最后一次模拟考试

数学(理科)参考答案

一、选择题： 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 DDDDDD 6 B 7 B 8 A 9 D 10 A 11 D 12 C 二、填空题： 13．-5 14．C 15.

66 16. 3?5 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22Sn17.解：（1）当n?2时，Sn?Sn?1?，Sn?1?Sn?2SnSn?1

2Sn?111?1???2，从而??构成以1为首项，2为公差的等差数列. SnSn?1?Sn?11??(n?1)?2?2n?1，?Sn?1 （2）由（1）可知，

SnS12n?1?当n?2时，

11111111Sn?????(?) nn(2n?1)n(2n?2)2n(n?1)2n?1n111111111313S1?S2?S3?...?Sn?1?(1????L??)???从而23n2223n?1n22n2.

18．（12分）

解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，

211C6?C6C1229P??; ……………… 3分 2C1001650（Ⅱ）X?160?0.06?170?0.12?180?0.34?190?0.30?200?0.1?210?0.08?185（个）………… 5分

又S2?169,s?13,所以正式测试时，??195,??13,?????182 （

ⅰ

）

?P(??182)?1?1?0.6826?0.8413,2?0.8413?2000?1682.6?1683（人） ……………… 7分

（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，

0即?~B(3,0.5),?P(??0)?C3?(1?0.5)3?0.125,

1P(??1)?C3?0.5?(1?0.5)2?0.375,P(??2)?C32?0.52?(1?0.5)?0.375,??的分布列为

3P(??3)?C3?0.53?0.125;? 0 1 2 3

P 分

0.125 0.375 0.375 0.125 E(X)?3?0.5?1.5. …12

19.（1）解：在△ABC中，连AG延长交BC于O，因为点G为△ABC的重心

uuuur2uuurAG2?，且O为BC中点，又AM?AF， 所以

AO33所以

AGAM2??，所以GM∥OF；··········2分 AOAF3又N为AB中点，所以NO∥AC，又AC∥DF， 所以NO∥DF，

所以O，D，F，N四点共面，··········4分 又OF?平面DFN，GM?平面DFN， 所以GM∥平面DFN．··········5分

（2）由题意，AG?平面BCDE，所以AO?BC，平面ABC?平面BCDE，且交线为BC， 因为BC?CD，所以CD?平面ABC，

又四边形BCDE为直角梯形，BC?2，DE?1，所以OE∥CD，所以OE?平面ABC 因为AC∥DF，DE∥BC，所以平面ABC//平面DEF， 又△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，

故以O为原点，OC为x轴，OE为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系， 设CD?m，则C?1,0,0?，D?1,m,0?，A0,0,3，F??,m,???1?23?，B??1,0,0?，??2??13?N??,0,··········7分 ??2?，2??uuuur?42m23?ruuuur2uuur?12m23?uuu因为AM?AF，所以M??3,3,3??，BC??2,0,0?，BM???3,3,3??， 3????