二项式定理
知识点一 1．二项式定理 n1n1b＋C2an2b2＋…＋Cranrbr所表示的规律叫做二项式定理． 公式(a＋b)n＝C0na＋Cnann
2、相关概念
－
－
－
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．
(2)各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．
n－rr
(3)展开式中的Crb叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1，它表示展开式的第r＋1项． na122rrnn
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋Cnx 3、展开式具有以下特点 (1)项数：共有n＋1项；
rn12
(2)二项式系数：依次为C0n，Cn，Cn，…，Cn，…，Cn；
(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开； (4)通项是第r＋1项．
例题精讲 [例1] (1)用二项式定理展开(2x－
35
). 2x2－
－
－
nn1n2nrn1
(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)rCr＋…＋(－1)nCn. n(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结
构形式，逆用二项式定理求解．
[答案]
(1)(2x－
35335
0(2x)5＋C1(2x)4·(－5(－)＝C)＋…＋C) 555
2x22x22x2
180135405243
＝32x5－120x2＋x－4＋7－10.
x8x32x
nn1n2nrn1
(2)原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Cr(－1)r＋…＋Cnn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n(－1)＝[(x－
－
－
＋1)＋(－1)]n＝xn.
变式训练 14
)的展开式． x11121314
4132
解：法一：(3x＋)4＝C0＋C2)＋C3)＋C4) 4(3x)＋C4(3x)·4(3x)·(4(3x)(4(
xxxxx
1．求(3x＋
121
＝81x2＋108x＋54＋x＋2.
x
1
14?3x＋1?41121
法二：(3x＋)＝＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋2. 2xxxxx
3243546
2．求C26＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6的值．
1235566
解：原式＝2(92C6＋93C6＋94C46＋9C6＋9C6) 9
110
11223344556611＝2(C06＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6)－2(C6＋9C6) 99111
＝2(1＋9)6－2(1＋6×9)＝2(106－55)＝12 345. 999[例2] (1)(x＋
18
)的展开式中常数项为 2 x
( ) D．105
353535A. B. C. 1684(2)设二项式(x－
a6
)(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________． x
[答案] (1)二项展开式的通项为 1r1r4－r
8－r(Tr＋1＝Cr)＝Cr. 8(x)8()x22 x
当4－r＝0时，r＝4，所以展开式中的常数项为 1435
C4.故选B. 8()＝28(2)由题意得
6r(－Tr＋1＝Cr6x
－
3ar6-r2， )＝(－a)rCrx6
x
44
∴A＝(－a)2C26，B＝(－a)C6.
又∵B＝4A，
222∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4.
又∵a>0，∴a＝2.
( )
1
3．在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为
x4．A．10
B．－10 C．40 D．－40
1125－r(－)r＝Cr·25－r×(－1)rx10－3r.当r＝3时含有解析：二项式(2x2－x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)5
x
23x，其系数为C35·2×(－1)＝－40.
4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝ ( )
A．6
B．7 C．8
D．9
解析：二项式(1＋3x)n的展开式的通项是
nrrr
Tr＋1＝Cr·(3x)r＝Crn1n·3·x.依题意得
－
2
n?n－1??n－2??n－3??n－4?566
C5·3＝C·3，即 nn
5！n?n－1??n－2??n－3??n－4??n－5?＝3×(n≥6)，
6！解得n＝7.
13
5．在(2x－)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
2A．4项 C．6项
B．5项 D．7项
1r233－20－r(－20－r. 解析：Tr＋1＝Cr)＝(－)r·(2)20rCr20(2x)20·x22∵系数为有理数，∴(2)与2r
20?r3均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除． 故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20， ∴r＝2,8,14,20.
知识点二 引入： (a＋b)的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
n 二项式系数的性质
－
nmm1
(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C0＋Cmn＝Cn＝1，Cn＋1＝Cnn. m(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即Cn＝Cnn
－m
.
(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项Tn的二项式系数最大；如果n是奇数，那
2?1么其展开式中间两项Tn?1?Tn?1的二项式系数相等且最大．
22?1(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n.
nnn112024135即C0. n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.且Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
－
例题精讲 [例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
3
121
[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第17项是
12C210，第18项是C10，第19项是C11.
1212121211112[答案] S19＝(C22＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝(C2＋C3＋C4＋…＋C10)＋(C2＋223
C23＋…＋C10＋C11)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C12＝
?2＋10?×9
＋220＝274. 2
变式训练 1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.
解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，
14
则3C13n＝2Cn，
即
3n！2n！
＝.
13！?n－13?！14！?n－14?！
解得n＝34. [例2] 设(1－2x)2012?a0?a1x?a2x2???a2012x2012(x?R)
(1)求a0?a1?a2???a2012的值． (2)求a1?a3?a5???a2011的值． (3)求|a0|?|a1|?|a2|???|a2012|的值．
4
[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．
[答案] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012， 1－32 012
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
2
rrrr
(3)∵Tr＋1＝Cr2 012(－2x)＝(－1)·C2 012·(2x)，
∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012 ＝32 012.
[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
变式训练 3．?1?x???1?x?????1?x?的展开式中各项系数的和为
2n
n?1 ( )
A．2n?1 B．2?1 C．223nn?1nn?1?1
D．2?2
解析：令x＝1，则2?2?2???2?2答案：D
?2
27213144．已知1?2x?x)?a0?a1x?a2x???a13x?a14xa14x14.
(1)求a0?a1?a2???a13?a14 (2)求a1?a3?a5??a13 解：(1)令x＝1，
7则a0?a1?a2???a13?a14＝2＝128.
①
(2)令x＝－1，
7则a0?a1?a2?a3???a13?a14＝(?2)＝－128.
②
①－②得2(a1?a3?a5???a13)＝256，∴a1?a3?a5???a13＝128.
[例3] (10分)已知(x23＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为
32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
5
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